Математический анализ Примеры

$\frac{1}{2 \sin (2 x)}$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2 \sin (2 x)}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (2 x)}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (2 x)}]$

Этап 2

Переведем $\frac{1}{\sin (2 x)}$ в $\csc (2 x)$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \csc (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.2

Производная $\csc (u)$ по $u$ равна $- \csc (u) \cot (u)$ .

$\frac{1}{2} (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2} (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\csc (2 x)$ .

$- \frac{\csc (2 x)}{2} \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 4.2

Объединим $\cot (2 x)$ и $\frac{\csc (2 x)}{2}$ .

$- \frac{\cot (2 x) \csc (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 4.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\cot (2 x) \csc (2 x)}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{\cot (2 x) \csc (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.4.2

Объединим $- 2$ и $\frac{\cot (2 x) \csc (2 x)}{2}$ .

$\frac{- 2 (\cot (2 x) \csc (2 x))}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.4.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \cot (2 x) \csc (2 x)$ .

$\frac{2 (- \cot (2 x) \csc (2 x))}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- \cot (2 x) \csc (2 x))}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- \cot (2 x) \csc (2 x))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \cot (2 x) \csc (2 x)}{1} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.4.3.2.4

Разделим $- \cot (2 x) \csc (2 x)$ на $1$ .

$- \cot (2 x) \csc (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \cot (2 x) \csc (2 x) \cdot 1$

Этап 4.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \cot (2 x) \csc (2 x)$