Математический анализ Примеры

$\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}$

Этап 1

Перепишем $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}]$ в виде $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x \sqrt[3]{x}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем $x^{3}$ за скобки.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{x^{3} x}}]$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x \sqrt[3]{x}}]$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x \cdot x^{\frac{1}{3}}}]$

Этап 3

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{1} x^{\frac{1}{3}}}]$

Этап 3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{1 + \frac{1}{3}}}]$

Этап 3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}]$

Этап 3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3 + 1}{3}}}]$

Этап 3.4

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}]$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}$ в виде ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}]$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3} \cdot - 1}]$

Этап 4.2.2

Умножим $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Объединим $\frac{4}{3}$ и $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4 \cdot - 1}{3}}]$

Этап 4.2.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 4}{3}}]$

Этап 4.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{3}}]$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3} x^{- \frac{4}{3} - 1}$

Этап 6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} x^{- \frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 7

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} x^{- \frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{4}{3} x^{\frac{- 4 - 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- \frac{4}{3} x^{\frac{- 4 - 3}{3}}$

Этап 9.2

Вычтем $3$ из $- 4$ .

$- \frac{4}{3} x^{\frac{- 7}{3}}$

Этап 10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{3} x^{- \frac{7}{3}}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}$

Этап 11.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $\frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}$ на $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{x^{\frac{7}{3}} \cdot 3}$

Этап 11.2.2

Перенесем $3$ влево от $x^{\frac{7}{3}}$ .

$- \frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}}$