Математический анализ Примеры

$\frac{1 - x e^{x}}{x + e^{x}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1 - x e^{x}$ и $g (x) = x + e^{x}$ .

$\frac{(x + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - x e^{x}] - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $1 - x e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ .

$\frac{(x + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ .

$\frac{(x + e^{x}) \frac{d}{d x} [- x e^{x}] - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x e^{x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- \frac{d}{d x} [x e^{x}]) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 5.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x})) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 5.3

По правилу суммы производная $x + e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x})) - (1 - x e^{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x})) - (1 - x e^{x}) (1 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 6

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x})) - (1 - x e^{x}) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x}) - e^{x}) - (1 - x e^{x}) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x}) - e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Развернем $(x + e^{x}) (- x e^{x} - e^{x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (- x e^{x} - e^{x}) + e^{x} (- x e^{x} - e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (- x e^{x}) + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x} - e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (- x e^{x}) + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- x (x e^{x}) + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- (x \cdot x) e^{x} + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.1.2.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.1.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.1.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{x} (x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.1.2.5

Умножим $e^{x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.5.1

Перенесем $e^{x}$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - (e^{x} e^{x}) x + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.1.2.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{x + x} x + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.1.2.5.3

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.1.2.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{x} e^{x} + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.1.2.7

Умножим $e^{x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.7.1

Перенесем $e^{x}$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - (e^{x} e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.1.2.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{x + x} + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.1.2.7.3

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} + (- 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.1.3.2

Умножим $- (- x e^{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.3.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} + (- 1 + 1 (x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.1.3.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} + (- 1 + x e^{x}) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.1.4

Развернем $(- 1 + x e^{x}) (1 + e^{x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 (1 + e^{x}) + x e^{x} (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 \cdot 1 - 1 e^{x} + x e^{x} (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 \cdot 1 - 1 e^{x} + x e^{x} \cdot 1 + x e^{x} e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - 1 e^{x} + x e^{x} \cdot 1 + x e^{x} e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.1.5.2

Перепишем $- 1 e^{x}$ в виде $- e^{x}$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{x} \cdot 1 + x e^{x} e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.1.5.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{x} + x e^{x} e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.1.5.4

Умножим $e^{x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.5.4.1

Перенесем $e^{x}$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{x} + x (e^{x} e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.1.5.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{x} + x e^{x + x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.1.5.4.3

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{x} + x e^{2 x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.2

Объединим противоположные члены в $- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{x} + x e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Добавим $- x e^{x}$ и $x e^{x}$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} + 0 - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{2 x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.2.2

Добавим $- x^{2} e^{x}$ и $0$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{2 x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.2.3

Изменим порядок множителей в членах $- e^{2 x} x$ и $x e^{2 x}$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + e^{2 x} x}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.2.4

Добавим $- e^{2 x} x$ и $e^{2 x} x$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} + 0 - e^{2 x} - 1 - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3.2.5

Добавим $- x^{2} e^{x}$ и $0$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - e^{2 x} - 1 - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- e^{x} x^{2} - 1 - e^{2 x} - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{x} x^{2}$ .

$\frac{- (e^{x} x^{2}) - 1 - e^{2 x} - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.6

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- (e^{x} x^{2}) - 1 (1) - e^{2 x} - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (e^{x} x^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 1) - e^{2 x} - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{2 x}$ .

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 1) - (e^{2 x}) - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (e^{x} x^{2} + 1) - (e^{2 x})$ .

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x}) - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{x}$ .

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x}) - (e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x}) - (e^{x})$ .

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x} + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.12

Перепишем $- (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x} + e^{x})$ в виде $- 1 (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x} + e^{x})$ .

$\frac{- 1 (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x} + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x} + e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Этап 7.14

Изменим порядок множителей в $- \frac{e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x} + e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} e^{x} + 1 + e^{2 x} + e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$