Математический анализ Примеры

$2 {(t^{2} + 11 t)}^{- 7}$

Этап 1

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 {(t^{2} + 11 t)}^{- 7}$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 11 t)}^{- 7}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 11 t)}^{- 7}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{- 7}$ и $g (t) = t^{2} + 11 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t^{2} + 11 t$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 7}] \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 7$ .

$2 (- 7 u^{- 8} \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $t^{2} + 11 t$ .

$2 (- 7 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 7$ на $2$ .

$- 14 ({(t^{2} + 11 t)}^{- 8} \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $t^{2} + 11 t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [11 t]$ .

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [11 t])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + \frac{d}{d t} [11 t])$

Этап 3.4

Поскольку $11$ является константой относительно $t$ , производная $11 t$ по $t$ равна $11 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + 11 \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + 11 \cdot 1)$

Этап 3.6

Умножим $11$ на $1$ .

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + 11)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 14 \frac{1}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $- 14$ и $\frac{1}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$ .

$\frac{- 14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$

Этап 4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $- \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$ .

$- (2 t + 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

Этап 4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(- (2 t) - 1 \cdot 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

Этап 4.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(- 2 t - 1 \cdot 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

Этап 4.6

Умножим $- 1$ на $11$ .

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

Этап 4.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{2} + 11 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{2}$ .

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t \cdot t + 11 t)}^{8}}$

Этап 4.7.1.2

Вынесем множитель $t$ из $11 t$ .

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t \cdot t + t \cdot 11)}^{8}}$

Этап 4.7.1.3

Вынесем множитель $t$ из $t \cdot t + t \cdot 11$ .

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t (t + 11))}^{8}}$

Этап 4.7.2

Применим правило умножения к $t (t + 11)$ .

$(- 2 t - 11) \frac{14}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Этап 4.8

Умножим $- 2 t - 11$ на $\frac{14}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$ .

$\frac{(- 2 t - 11) \cdot 14}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Этап 4.9

Перенесем $14$ влево от $- 2 t - 11$ .

$\frac{14 \cdot (- 2 t - 11)}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Этап 4.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 t$ .

$\frac{14 (- (2 t) - 11)}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Этап 4.11

Перепишем $- 11$ в виде $- 1 (11)$ .

$\frac{14 (- (2 t) - 1 (11))}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Этап 4.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 t) - 1 (11)$ .

$\frac{14 (- (2 t + 11))}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Этап 4.13

Перепишем $- (2 t + 11)$ в виде $- 1 (2 t + 11)$ .

$\frac{14 (- 1 (2 t + 11))}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Этап 4.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{14 (2 t + 11)}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$