Математический анализ Примеры

$2 t^{3} + 6 t - \frac{4}{t^{2}}$

Этап 1

По правилу суммы производная $2 t^{3} + 6 t - \frac{4}{t^{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [2 t^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t^{3}$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Этап 2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 t^{2} + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [6 t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $t$ , производная $6 t$ по $t$ равна $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$6 t^{2} + 6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 t^{2} + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Этап 3.3

Умножим $6$ на $1$ .

$6 t^{2} + 6 + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $t$ , производная $- \frac{4}{t^{2}}$ по $t$ равна $- 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Этап 4.2

Перепишем $\frac{1}{t^{2}}$ в виде ${(t^{2})}^{- 1}$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{- 1}$ и $g (t) = t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t^{2}$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Этап 4.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $t^{2}$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t))$

Этап 4.5

Перемножим экспоненты в ${(t^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t))$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- t^{- 4} (2 t))$

Этап 4.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 t^{- 4} t)$

Этап 4.7

Возведем $t$ в степень $1$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 (t^{1} t^{- 4}))$

Этап 4.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 t^{1 - 4})$

Этап 4.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 t^{- 3})$

Этап 4.10

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$6 t^{2} + 6 + 8 t^{- 3}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 t^{2} + 6 + 8 \frac{1}{t^{3}}$

Этап 5.2

Объединим $8$ и $\frac{1}{t^{3}}$ .

$6 t^{2} + 6 + \frac{8}{t^{3}}$

Этап 5.3

Изменим порядок членов.

$6 t^{2} + \frac{8}{t^{3}} + 6$