Математический анализ Примеры

$f (t) = \frac{2 t + 1}{t + 3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = 2 t + 1$ и $g (t) = t + 3$ .

$\frac{(t + 3) \frac{d}{d t} [2 t + 1] - (2 t + 1) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 t + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{(t + 3) (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]) - (2 t + 1) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(t + 3) (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) - (2 t + 1) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(t + 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) - (2 t + 1) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{(t + 3) (2 + \frac{d}{d t} [1]) - (2 t + 1) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 2.5

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{(t + 3) (2 + 0) - (2 t + 1) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{(t + 3) \cdot 2 - (2 t + 1) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Перенесем $2$ влево от $t + 3$ .

$\frac{2 \cdot (t + 3) - (2 t + 1) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $t + 3$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{2 (t + 3) - (2 t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (t + 3) - (2 t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [3])}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 2.9

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{2 (t + 3) - (2 t + 1) (1 + 0)}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2 (t + 3) - (2 t + 1) \cdot 1}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 2.10.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 (t + 3) - (2 t + 1)}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 t + 2 \cdot 3 - (2 t + 1)}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 t + 2 \cdot 3 - (2 t) - 1 \cdot 1}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{2 t + 6 - (2 t) - 1 \cdot 1}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 t + 6 - 2 t - 1 \cdot 1}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 t + 6 - 2 t - 1}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Объединим противоположные члены в $2 t + 6 - 2 t - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $2 t$ из $2 t$ .

$\frac{0 + 6 - 1}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.2.2

Добавим $0$ и $6$ .

$\frac{6 - 1}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Вычтем $1$ из $6$ .

$\frac{5}{{(t + 3)}^{2}}$