Математический анализ Примеры

$f (t) = \frac{6}{\sqrt{t^{2} - 9}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t^{2} - 9}$ в виде ${(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{6}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2

Поскольку $6$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{6}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ по $t$ равна $6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем $\frac{1}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${({(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$6 \frac{d}{d t} [{({(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Этап 1.3.2

Перемножим экспоненты в ${({(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Этап 1.3.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$6 \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 9)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Этап 1.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$6 \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{- \frac{1}{2}}$ и $g (t) = t^{2} - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t^{2} - 9$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$6 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $t^{2} - 9$ .

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Этап 8

Объединим ${(t^{2} - 9)}^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$6 (- \frac{{(t^{2} - 9)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Этап 9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем ${(t^{2} - 9)}^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 (- \frac{1}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Этап 9.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- 6 (\frac{1}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

Этап 10

Объединим $\frac{1}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ и $- 6$ .

$\frac{- 6}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

Этап 11

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

Этап 12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 ({(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

Этап 12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

Этап 12.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

Этап 13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

Этап 14

По правилу суммы производная $t^{2} - 9$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ .

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9])$

Этап 15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} (2 t + \frac{d}{d t} [- 9])$

Этап 16

Поскольку $- 9$ является константой относительно $t$ , производная $- 9$ относительно $t$ равна $0$ .

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} (2 t + 0)$

Этап 17

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Добавим $2 t$ и $0$ .

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} (2 t)$

Этап 17.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} t$

Этап 17.3

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} t$

Этап 17.4

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{- 6}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} t$

Этап 17.5

Объединим $\frac{- 6}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ и $t$ .

$\frac{- 6 t}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 17.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{6 t}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$