Математический анализ Примеры

$g (t) = \frac{1}{{(t^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $\frac{1}{{(t^{4} + 1)}^{3}}$ в виде ${({(t^{4} + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d t} [{({(t^{4} + 1)}^{3})}^{- 1}]$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${({(t^{4} + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d t} [{(t^{4} + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Этап 1.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d t} [{(t^{4} + 1)}^{- 3}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{- 3}$ и $g (t) = t^{4} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t^{4} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d t} [t^{4} + 1]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d t} [t^{4} + 1]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $t^{4} + 1$ .

$- 3 {(t^{4} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d t} [t^{4} + 1]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $t^{4} + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$- 3 {(t^{4} + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [1])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 3 {(t^{4} + 1)}^{- 4} (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [1])$

Этап 3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$- 3 {(t^{4} + 1)}^{- 4} (4 t^{3} + 0)$

Этап 3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $4 t^{3}$ и $0$ .

$- 3 {(t^{4} + 1)}^{- 4} (4 t^{3})$

Этап 3.4.2

Умножим $4$ на $- 3$ .

$- 12 {(t^{4} + 1)}^{- 4} t^{3}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 12 \frac{1}{{(t^{4} + 1)}^{4}} t^{3}$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $- 12$ и $\frac{1}{{(t^{4} + 1)}^{4}}$ .

$\frac{- 12}{{(t^{4} + 1)}^{4}} t^{3}$

Этап 4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{12}{{(t^{4} + 1)}^{4}} t^{3}$

Этап 4.2.3

Объединим $t^{3}$ и $\frac{12}{{(t^{4} + 1)}^{4}}$ .

$- \frac{t^{3} \cdot 12}{{(t^{4} + 1)}^{4}}$

Этап 4.2.4

Перенесем $12$ влево от $t^{3}$ .

$- \frac{12 t^{3}}{{(t^{4} + 1)}^{4}}$