Математический анализ Примеры

$\frac{5}{9 w^{4}} + 5 \sqrt[3]{w}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\frac{5}{9 w^{4}} + 5 \sqrt[3]{w}$ по $w$ имеет вид $\frac{d}{d w} [\frac{5}{9 w^{4}}] + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$ .

$\frac{d}{d w} [\frac{5}{9 w^{4}}] + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d w} [\frac{5}{9 w^{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{5}{9}$ является константой относительно $w$ , производная $\frac{5}{9 w^{4}}$ по $w$ равна $\frac{5}{9} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{4}}]$ .

$\frac{5}{9} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{4}}] + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{1}{w^{4}}$ в виде ${(w^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{5}{9} \frac{d}{d w} [{(w^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ имеет вид $f' (g (w)) g' (w)$ , где $f (w) = w^{- 1}$ и $g (w) = w^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $w^{4}$ .

$\frac{5}{9} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d w} [w^{4}]) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{5}{9} (- u^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{4}]) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $w^{4}$ .

$\frac{5}{9} (- {(w^{4})}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{4}]) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид $n w^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{5}{9} (- {(w^{4})}^{- 2} (4 w^{3})) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Этап 2.5

Перемножим экспоненты в ${(w^{4})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{9} (- w^{4 \cdot - 2} (4 w^{3})) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Этап 2.5.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$\frac{5}{9} (- w^{- 8} (4 w^{3})) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Этап 2.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{5}{9} (- 4 w^{- 8} w^{3}) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Этап 2.7

Умножим $w^{- 8}$ на $w^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Перенесем $w^{3}$ .

$\frac{5}{9} (- 4 (w^{3} w^{- 8})) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Этап 2.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5}{9} (- 4 w^{3 - 8}) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Этап 2.7.3

Вычтем $8$ из $3$ .

$\frac{5}{9} (- 4 w^{- 5}) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Этап 2.8

Объединим $- 4$ и $\frac{5}{9}$ .

$\frac{- 4 \cdot 5}{9} w^{- 5} + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Этап 2.9

Умножим $- 4$ на $5$ .

$\frac{- 20}{9} w^{- 5} + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Этап 2.10

Объединим $\frac{- 20}{9}$ и $w^{- 5}$ .

$\frac{- 20 w^{- 5}}{9} + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Этап 2.11

Перенесем $w^{- 5}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 20}{9 w^{5}} + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Этап 2.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{20}{9 w^{5}} + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{w}$ в виде $w^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{20}{9 w^{5}} + \frac{d}{d w} [5 w^{\frac{1}{3}}]$

Этап 3.2

Поскольку $5$ является константой относительно $w$ , производная $5 w^{\frac{1}{3}}$ по $w$ равна $5 \frac{d}{d w} [w^{\frac{1}{3}}]$ .

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 \frac{d}{d w} [w^{\frac{1}{3}}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид $n w^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{\frac{1}{3} - 1})$

Этап 3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{\frac{1 - 3}{3}})$

Этап 3.7.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{- \frac{2}{3}})$

Этап 3.9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $w^{- \frac{2}{3}}$ .

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 \frac{w^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 3.10

Объединим $5$ и $\frac{w^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$- \frac{20}{9 w^{5}} + \frac{5 w^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 3.11

Перенесем $w^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{20}{9 w^{5}} + \frac{5}{3 w^{\frac{2}{3}}}$