Математический анализ Примеры

$\frac{8 u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}$

Этап 1

Поскольку $8$ является константой относительно $u$ , производная $\frac{8 u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}$ по $u$ равна $8 \frac{d}{d u} [\frac{u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}]$ .

$8 \frac{d}{d u} [\frac{u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ имеет вид $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ , где $f (u) = u^{2}$ и $g (u) = {(u^{2} + u)}^{3}$ .

$8 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} \frac{d}{d u} [u^{2}] - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{({(u^{2} + u)}^{3})}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перемножим экспоненты в ${({(u^{2} + u)}^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} \frac{d}{d u} [u^{2}] - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{3 \cdot 2}}$

Этап 3.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$8 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} \frac{d}{d u} [u^{2}] - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$8 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} (2 u) - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 3.3

Перенесем $2$ влево от ${(u^{2} + u)}^{3}$ .

$8 \frac{2 \cdot {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ имеет вид $f' (g (u)) g' (u)$ , где $f (u) = u^{3}$ и $g (u) = u^{2} + u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $u^{2} + u$ .

$8 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$8 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $u^{2} + u$ .

$8 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} (3 {(u^{2} + u)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$8 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 5.2

По правилу суммы производная $u^{2} + u$ по $u$ имеет вид $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u]$ .

$8 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u]))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$8 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + \frac{d}{d u} [u]))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 5.5

Объединим $8$ и $\frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$ .

$\frac{8 (2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 (2 {(u^{2} + u)}^{3} u) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$\frac{8 (2 ({(u^{2})}^{3} + 3 {(u^{2})}^{2} u + 3 u^{2} u^{2} + u^{3}) u) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 (2 (u^{2 \cdot 3} + 3 {(u^{2})}^{2} u + 3 u^{2} u^{2} + u^{3}) u) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.2.1.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{8 (2 (u^{6} + 3 {(u^{2})}^{2} u + 3 u^{2} u^{2} + u^{3}) u) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 (2 (u^{6} + 3 u^{2 \cdot 2} u + 3 u^{2} u^{2} + u^{3}) u) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.2.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{8 (2 (u^{6} + 3 u^{4} u + 3 u^{2} u^{2} + u^{3}) u) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.2.3

Умножим $u^{4}$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Перенесем $u$ .

$\frac{8 (2 (u^{6} + 3 (u \cdot u^{4}) + 3 u^{2} u^{2} + u^{3}) u) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.2.3.2

Умножим $u$ на $u^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.2.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\frac{8 (2 (u^{6} + 3 (u^{1} u^{4}) + 3 u^{2} u^{2} + u^{3}) u) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 (2 (u^{6} + 3 u^{1 + 4} + 3 u^{2} u^{2} + u^{3}) u) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.2.3.3

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{8 (2 (u^{6} + 3 u^{5} + 3 u^{2} u^{2} + u^{3}) u) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.2.4

Умножим $u^{2}$ на $u^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.4.1

Перенесем $u^{2}$ .

$\frac{8 (2 (u^{6} + 3 u^{5} + 3 (u^{2} u^{2}) + u^{3}) u) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.2.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 (2 (u^{6} + 3 u^{5} + 3 u^{2 + 2} + u^{3}) u) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.2.4.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{8 (2 (u^{6} + 3 u^{5} + 3 u^{4} + u^{3}) u) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 ((2 u^{6} + 2 (3 u^{5}) + 2 (3 u^{4}) + 2 u^{3}) u) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{8 ((2 u^{6} + 6 u^{5} + 2 (3 u^{4}) + 2 u^{3}) u) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{8 ((2 u^{6} + 6 u^{5} + 6 u^{4} + 2 u^{3}) u) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 (2 u^{6} u + 6 u^{5} u + 6 u^{4} u + 2 u^{3} u) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Умножим $u^{6}$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1.1

Перенесем $u$ .

$\frac{8 (2 (u \cdot u^{6}) + 6 u^{5} u + 6 u^{4} u + 2 u^{3} u) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.6.1.2

Умножим $u$ на $u^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1.2.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\frac{8 (2 (u^{1} u^{6}) + 6 u^{5} u + 6 u^{4} u + 2 u^{3} u) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.6.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 (2 u^{1 + 6} + 6 u^{5} u + 6 u^{4} u + 2 u^{3} u) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.6.1.3

Добавим $1$ и $6$ .

$\frac{8 (2 u^{7} + 6 u^{5} u + 6 u^{4} u + 2 u^{3} u) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.6.2

Умножим $u^{5}$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.2.1

Перенесем $u$ .

$\frac{8 (2 u^{7} + 6 (u \cdot u^{5}) + 6 u^{4} u + 2 u^{3} u) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.6.2.2

Умножим $u$ на $u^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.2.2.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\frac{8 (2 u^{7} + 6 (u^{1} u^{5}) + 6 u^{4} u + 2 u^{3} u) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.6.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 (2 u^{7} + 6 u^{1 + 5} + 6 u^{4} u + 2 u^{3} u) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.6.2.3

Добавим $1$ и $5$ .

$\frac{8 (2 u^{7} + 6 u^{6} + 6 u^{4} u + 2 u^{3} u) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.6.3

Умножим $u^{4}$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.3.1

Перенесем $u$ .

$\frac{8 (2 u^{7} + 6 u^{6} + 6 (u \cdot u^{4}) + 2 u^{3} u) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.6.3.2

Умножим $u$ на $u^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.3.2.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\frac{8 (2 u^{7} + 6 u^{6} + 6 (u^{1} u^{4}) + 2 u^{3} u) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.6.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 (2 u^{7} + 6 u^{6} + 6 u^{1 + 4} + 2 u^{3} u) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.6.3.3

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{8 (2 u^{7} + 6 u^{6} + 6 u^{5} + 2 u^{3} u) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.6.4

Умножим $u^{3}$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.4.1

Перенесем $u$ .

$\frac{8 (2 u^{7} + 6 u^{6} + 6 u^{5} + 2 (u \cdot u^{3})) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.6.4.2

Умножим $u$ на $u^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.4.2.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\frac{8 (2 u^{7} + 6 u^{6} + 6 u^{5} + 2 (u^{1} u^{3})) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.6.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 (2 u^{7} + 6 u^{6} + 6 u^{5} + 2 u^{1 + 3}) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.6.4.3

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{8 (2 u^{7} + 6 u^{6} + 6 u^{5} + 2 u^{4}) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 (2 u^{7}) + 8 (6 u^{6}) + 8 (6 u^{5}) + 8 (2 u^{4}) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.1

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{16 u^{7} + 8 (6 u^{6}) + 8 (6 u^{5}) + 8 (2 u^{4}) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.8.2

Умножим $6$ на $8$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 8 (6 u^{5}) + 8 (2 u^{4}) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.8.3

Умножим $6$ на $8$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 8 (2 u^{4}) + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.8.4

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.9

Перепишем ${(u^{2} + u)}^{2}$ в виде $(u^{2} + u) (u^{2} + u)$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} ((u^{2} + u) (u^{2} + u) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.10

Развернем $(u^{2} + u) (u^{2} + u)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} ((u^{2} (u^{2} + u) + u (u^{2} + u)) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} ((u^{2} u^{2} + u^{2} u + u (u^{2} + u)) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} ((u^{2} u^{2} + u^{2} u + u \cdot u^{2} + u \cdot u) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.1.1

Умножим $u^{2}$ на $u^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} ((u^{2 + 2} + u^{2} u + u \cdot u^{2} + u \cdot u) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.11.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} ((u^{4} + u^{2} u + u \cdot u^{2} + u \cdot u) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.11.1.2

Умножим $u^{2}$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.1.2.1

Умножим $u^{2}$ на $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.1.2.1.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} ((u^{4} + u^{2} u^{1} + u \cdot u^{2} + u \cdot u) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.11.1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} ((u^{4} + u^{2 + 1} + u \cdot u^{2} + u \cdot u) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.11.1.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} ((u^{4} + u^{3} + u \cdot u^{2} + u \cdot u) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.11.1.3

Умножим $u$ на $u^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.1.3.1

Умножим $u$ на $u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.1.3.1.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} ((u^{4} + u^{3} + u^{1} u^{2} + u \cdot u) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.11.1.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} ((u^{4} + u^{3} + u^{1 + 2} + u \cdot u) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.11.1.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} ((u^{4} + u^{3} + u^{3} + u \cdot u) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.11.1.4

Умножим $u$ на $u$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} ((u^{4} + u^{3} + u^{3} + u^{2}) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.11.2

Добавим $u^{3}$ и $u^{3}$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} ((u^{4} + 2 u^{3} + u^{2}) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.12

Развернем $(u^{4} + 2 u^{3} + u^{2}) (2 u + 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} (u^{4} (2 u) + u^{4} \cdot 1 + 2 u^{3} (2 u) + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.13

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} (2 u^{4} u + u^{4} \cdot 1 + 2 u^{3} (2 u) + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.13.2

Умножим $u^{4}$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.2.1

Перенесем $u$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} (2 (u \cdot u^{4}) + u^{4} \cdot 1 + 2 u^{3} (2 u) + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.13.2.2

Умножим $u$ на $u^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.2.2.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} (2 (u^{1} u^{4}) + u^{4} \cdot 1 + 2 u^{3} (2 u) + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.13.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} (2 u^{1 + 4} + u^{4} \cdot 1 + 2 u^{3} (2 u) + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.13.2.3

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} \cdot 1 + 2 u^{3} (2 u) + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.13.3

Умножим $u^{4}$ на $1$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 2 u^{3} (2 u) + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.13.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 2 \cdot 2 u^{3} u + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.13.5

Умножим $u^{3}$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.5.1

Перенесем $u$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 2 \cdot 2 (u \cdot u^{3}) + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.13.5.2

Умножим $u$ на $u^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.5.2.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 2 \cdot 2 (u^{1} u^{3}) + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.13.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 2 \cdot 2 u^{1 + 3} + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.13.5.3

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 2 \cdot 2 u^{4} + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.13.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 4 u^{4} + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.13.7

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 4 u^{4} + 2 u^{3} + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.13.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 4 u^{4} + 2 u^{3} + 2 u^{2} u + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.13.9

Умножим $u^{2}$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.9.1

Перенесем $u$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 4 u^{4} + 2 u^{3} + 2 (u \cdot u^{2}) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.13.9.2

Умножим $u$ на $u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.9.2.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 4 u^{4} + 2 u^{3} + 2 (u^{1} u^{2}) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.13.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 4 u^{4} + 2 u^{3} + 2 u^{1 + 2} + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.13.9.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 4 u^{4} + 2 u^{3} + 2 u^{3} + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.13.10

Умножим $u^{2}$ на $1$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 4 u^{4} + 2 u^{3} + 2 u^{3} + u^{2}))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.14

Добавим $u^{4}$ и $4 u^{4}$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + 5 u^{4} + 2 u^{3} + 2 u^{3} + u^{2}))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.15

Добавим $2 u^{3}$ и $2 u^{3}$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + 5 u^{4} + 4 u^{3} + u^{2}))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.16

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 u^{2} (2 u^{5}) - 3 u^{2} (5 u^{4}) - 3 u^{2} (4 u^{3}) - 3 u^{2} u^{2})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.17.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 \cdot 2 u^{2} u^{5} - 3 u^{2} (5 u^{4}) - 3 u^{2} (4 u^{3}) - 3 u^{2} u^{2})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.17.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 \cdot 2 u^{2} u^{5} - 3 \cdot 5 u^{2} u^{4} - 3 u^{2} (4 u^{3}) - 3 u^{2} u^{2})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.17.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 \cdot 2 u^{2} u^{5} - 3 \cdot 5 u^{2} u^{4} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{2} u^{2})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.17.4

Умножим $u^{2}$ на $u^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.17.4.1

Перенесем $u^{2}$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 \cdot 2 u^{2} u^{5} - 3 \cdot 5 u^{2} u^{4} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 (u^{2} u^{2}))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.17.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 \cdot 2 u^{2} u^{5} - 3 \cdot 5 u^{2} u^{4} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{2 + 2})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.17.4.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 \cdot 2 u^{2} u^{5} - 3 \cdot 5 u^{2} u^{4} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.18

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.18.1

Умножим $u^{2}$ на $u^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.18.1.1

Перенесем $u^{5}$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 \cdot 2 (u^{5} u^{2}) - 3 \cdot 5 u^{2} u^{4} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.18.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 \cdot 2 u^{5 + 2} - 3 \cdot 5 u^{2} u^{4} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.18.1.3

Добавим $5$ и $2$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 3 \cdot 2 u^{7} - 3 \cdot 5 u^{2} u^{4} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.18.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 6 u^{7} - 3 \cdot 5 u^{2} u^{4} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.18.3

Умножим $u^{2}$ на $u^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.18.3.1

Перенесем $u^{4}$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 6 u^{7} - 3 \cdot 5 (u^{4} u^{2}) - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.18.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 6 u^{7} - 3 \cdot 5 u^{4 + 2} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.18.3.3

Добавим $4$ и $2$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 6 u^{7} - 3 \cdot 5 u^{6} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.18.4

Умножим $- 3$ на $5$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 6 u^{7} - 15 u^{6} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.18.5

Умножим $u^{2}$ на $u^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.18.5.1

Перенесем $u^{3}$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 6 u^{7} - 15 u^{6} - 3 \cdot 4 (u^{3} u^{2}) - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.18.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 6 u^{7} - 15 u^{6} - 3 \cdot 4 u^{3 + 2} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.18.5.3

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 6 u^{7} - 15 u^{6} - 3 \cdot 4 u^{5} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.18.6

Умножим $- 3$ на $4$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 6 u^{7} - 15 u^{6} - 12 u^{5} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.19

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} + 8 (- 6 u^{7}) + 8 (- 15 u^{6}) + 8 (- 12 u^{5}) + 8 (- 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.20.1

Умножим $- 6$ на $8$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} - 48 u^{7} + 8 (- 15 u^{6}) + 8 (- 12 u^{5}) + 8 (- 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.20.2

Умножим $- 15$ на $8$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} - 48 u^{7} - 120 u^{6} + 8 (- 12 u^{5}) + 8 (- 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.20.3

Умножим $- 12$ на $8$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} - 48 u^{7} - 120 u^{6} - 96 u^{5} + 8 (- 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.20.4

Умножим $- 3$ на $8$ .

$\frac{16 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} - 48 u^{7} - 120 u^{6} - 96 u^{5} - 24 u^{4}}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.21

Вычтем $48 u^{7}$ из $16 u^{7}$ .

$\frac{- 32 u^{7} + 48 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} - 120 u^{6} - 96 u^{5} - 24 u^{4}}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.22

Вычтем $120 u^{6}$ из $48 u^{6}$ .

$\frac{- 32 u^{7} - 72 u^{6} + 48 u^{5} + 16 u^{4} - 96 u^{5} - 24 u^{4}}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.23

Вычтем $96 u^{5}$ из $48 u^{5}$ .

$\frac{- 32 u^{7} - 72 u^{6} - 48 u^{5} + 16 u^{4} - 24 u^{4}}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.24

Вычтем $24 u^{4}$ из $16 u^{4}$ .

$\frac{- 32 u^{7} - 72 u^{6} - 48 u^{5} - 8 u^{4}}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.25

Перепишем $- 32 u^{7} - 72 u^{6} - 48 u^{5} - 8 u^{4}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.25.1

Вынесем множитель $8 u^{4}$ из $- 32 u^{7} - 72 u^{6} - 48 u^{5} - 8 u^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.25.1.1

Вынесем множитель $8 u^{4}$ из $- 32 u^{7}$ .

$\frac{8 u^{4} (- 4 u^{3}) - 72 u^{6} - 48 u^{5} - 8 u^{4}}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.25.1.2

Вынесем множитель $8 u^{4}$ из $- 72 u^{6}$ .

$\frac{8 u^{4} (- 4 u^{3}) + 8 u^{4} (- 9 u^{2}) - 48 u^{5} - 8 u^{4}}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.25.1.3

Вынесем множитель $8 u^{4}$ из $- 48 u^{5}$ .

$\frac{8 u^{4} (- 4 u^{3}) + 8 u^{4} (- 9 u^{2}) + 8 u^{4} (- 6 u) - 8 u^{4}}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.25.1.4

Вынесем множитель $8 u^{4}$ из $- 8 u^{4}$ .

$\frac{8 u^{4} (- 4 u^{3}) + 8 u^{4} (- 9 u^{2}) + 8 u^{4} (- 6 u) + 8 u^{4} (- 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.25.1.5

Вынесем множитель $8 u^{4}$ из $8 u^{4} (- 4 u^{3}) + 8 u^{4} (- 9 u^{2})$ .

$\frac{8 u^{4} (- 4 u^{3} - 9 u^{2}) + 8 u^{4} (- 6 u) + 8 u^{4} (- 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.25.1.6

Вынесем множитель $8 u^{4}$ из $8 u^{4} (- 4 u^{3} - 9 u^{2}) + 8 u^{4} (- 6 u)$ .

$\frac{8 u^{4} (- 4 u^{3} - 9 u^{2} - 6 u) + 8 u^{4} (- 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.25.1.7

Вынесем множитель $8 u^{4}$ из $8 u^{4} (- 4 u^{3} - 9 u^{2} - 6 u) + 8 u^{4} (- 1)$ .

$\frac{8 u^{4} (- 4 u^{3} - 9 u^{2} - 6 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.25.2

Разложим $- 4 u^{3} - 9 u^{2} - 6 u - 1$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.25.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 6.2.25.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5$

Этап 6.2.25.2.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.25.2.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

$- 4 {(- 1)}^{3} - 9 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 - 1$

Этап 6.2.25.2.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 4 \cdot - 1 - 9 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 - 1$

Этап 6.2.25.2.3.3

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$4 - 9 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 - 1$

Этап 6.2.25.2.3.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$4 - 9 \cdot 1 - 6 \cdot - 1 - 1$

Этап 6.2.25.2.3.5

Умножим $- 9$ на $1$ .

$4 - 9 - 6 \cdot - 1 - 1$

Этап 6.2.25.2.3.6

Вычтем $9$ из $4$ .

$- 5 - 6 \cdot - 1 - 1$

Этап 6.2.25.2.3.7

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$- 5 + 6 - 1$

Этап 6.2.25.2.3.8

Добавим $- 5$ и $6$ .

$1 - 1$

Этап 6.2.25.2.3.9

Вычтем $1$ из $1$ .

$0$

Этап 6.2.25.2.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $u + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- 4 u^{3} - 9 u^{2} - 6 u - 1}{u + 1}$

Этап 6.2.25.2.5

Разделим $- 4 u^{3} - 9 u^{2} - 6 u - 1$ на $u + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.25.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$u$

$1$

$4 u^{3}$

$9 u^{2}$

$6 u$

$1$

Этап 6.2.25.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 u^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $u$ .

				-	$4 u^{2}$
	$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$

Этап 6.2.25.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$4 u^{2}$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			-	$4 u^{3}$	-	$4 u^{2}$

Этап 6.2.25.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 u^{3} - 4 u^{2}$ .

			-	$4 u^{2}$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$

Этап 6.2.25.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$4 u^{2}$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$

Этап 6.2.25.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$4 u^{2}$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$	-	$6 u$

Этап 6.2.25.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 5 u^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $u$ .

			-	$4 u^{2}$	-	$5 u$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$	-	$6 u$

Этап 6.2.25.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$4 u^{2}$	-	$5 u$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$	-	$6 u$
					-	$5 u^{2}$	-	$5 u$

Этап 6.2.25.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 5 u^{2} - 5 u$ .

			-	$4 u^{2}$	-	$5 u$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$	-	$6 u$
					+	$5 u^{2}$	+	$5 u$

Этап 6.2.25.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$4 u^{2}$	-	$5 u$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$	-	$6 u$
					+	$5 u^{2}$	+	$5 u$
							-	$u$

Этап 6.2.25.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$4 u^{2}$	-	$5 u$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$	-	$6 u$
					+	$5 u^{2}$	+	$5 u$
							-	$u$	-	$1$

Этап 6.2.25.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- u$ на член с максимальной степенью в делителе $u$ .

			-	$4 u^{2}$	-	$5 u$	-	$1$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$	-	$6 u$
					+	$5 u^{2}$	+	$5 u$
							-	$u$	-	$1$

Этап 6.2.25.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$4 u^{2}$	-	$5 u$	-	$1$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$	-	$6 u$
					+	$5 u^{2}$	+	$5 u$
							-	$u$	-	$1$
							-	$u$	-	$1$

Этап 6.2.25.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- u - 1$ .

			-	$4 u^{2}$	-	$5 u$	-	$1$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$	-	$6 u$
					+	$5 u^{2}$	+	$5 u$
							-	$u$	-	$1$
							+	$u$	+	$1$

Этап 6.2.25.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$4 u^{2}$	-	$5 u$	-	$1$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$	-	$6 u$
					+	$5 u^{2}$	+	$5 u$
							-	$u$	-	$1$
							+	$u$	+	$1$
										$0$

Этап 6.2.25.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- 4 u^{2} - 5 u - 1$

Этап 6.2.25.2.6

Запишем $- 4 u^{3} - 9 u^{2} - 6 u - 1$ в виде набора множителей.

$\frac{8 u^{4} ((u + 1) (- 4 u^{2} - 5 u - 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.25.3

Разложим на множители методом группировки

$\frac{8 u^{4} (u + 1) (- 4 u - 1) (u + 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.25.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.25.4.1

Возведем $u + 1$ в степень $1$ .

$\frac{8 u^{4} ({(u + 1)}^{1} (u + 1)) (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.25.4.2

Возведем $u + 1$ в степень $1$ .

$\frac{8 u^{4} ({(u + 1)}^{1} {(u + 1)}^{1}) (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.25.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 u^{4} {(u + 1)}^{1 + 1} (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.2.25.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{8 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Этап 6.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{2} + u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{2}$ .

$\frac{8 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u \cdot u + u)}^{6}}$

Этап 6.3.1.2

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\frac{8 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u \cdot u + u^{1})}^{6}}$

Этап 6.3.1.3

Вынесем множитель $u$ из $u^{1}$ .

$\frac{8 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u \cdot u + u \cdot 1)}^{6}}$

Этап 6.3.1.4

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$\frac{8 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u (u + 1))}^{6}}$

Этап 6.3.2

Применим правило умножения к $u (u + 1)$ .

$\frac{8 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{u^{6} {(u + 1)}^{6}}$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $u^{4}$ и $u^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $u^{4}$ из $8 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)$ .

$\frac{u^{4} (8 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1))}{u^{6} {(u + 1)}^{6}}$

Этап 6.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Вынесем множитель $u^{4}$ из $u^{6} {(u + 1)}^{6}$ .

$\frac{u^{4} (8 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1))}{u^{4} (u^{2} {(u + 1)}^{6})}$

Этап 6.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{u^{4} (8 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1))}{u^{4} (u^{2} {(u + 1)}^{6})}$

Этап 6.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{6}}$

Этап 6.5

Сократим общий множитель ${(u + 1)}^{2}$ и ${(u + 1)}^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вынесем множитель ${(u + 1)}^{2}$ из $8 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)$ .

$\frac{{(u + 1)}^{2} (8 (- 4 u - 1))}{u^{2} {(u + 1)}^{6}}$

Этап 6.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Вынесем множитель ${(u + 1)}^{2}$ из $u^{2} {(u + 1)}^{6}$ .

$\frac{{(u + 1)}^{2} (8 (- 4 u - 1))}{{(u + 1)}^{2} (u^{2} {(u + 1)}^{4})}$

Этап 6.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(u + 1)}^{2} (8 (- 4 u - 1))}{{(u + 1)}^{2} (u^{2} {(u + 1)}^{4})}$

Этап 6.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8 (- 4 u - 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

Этап 6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 u$ .

$\frac{8 (- (4 u) - 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

Этап 6.7

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{8 (- (4 u) - 1 (1))}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

Этап 6.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 u) - 1 (1)$ .

$\frac{8 (- (4 u + 1))}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

Этап 6.9

Перепишем $- (4 u + 1)$ в виде $- 1 (4 u + 1)$ .

$\frac{8 (- 1 (4 u + 1))}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

Этап 6.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8 (4 u + 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$