Математический анализ Примеры

$y = e^{- u} \cos (u)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ имеет вид $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ , где $f (u) = e^{- u}$ и $g (u) = \cos (u)$ .

$e^{- u} \frac{d}{d u} [\cos (u)] + \cos (u) \frac{d}{d u} [e^{- u}]$

Этап 2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) \frac{d}{d u} [e^{- u}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ имеет вид $f' (g (u)) g' (u)$ , где $f (u) = e^{u}$ и $g (u) = - u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- u$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d u} [- u])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (e^{u_{1}} \frac{d}{d u} [- u])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- u$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (e^{- u} \frac{d}{d u} [- u])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $u$ , производная $- u$ по $u$ равна $- \frac{d}{d u} [u]$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (e^{- u} (- \frac{d}{d u} [u]))$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (e^{- u} (- 1 \cdot 1))$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (e^{- u} \cdot - 1)$

Этап 4.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- u}$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (- 1 \cdot e^{- u})$

Этап 4.3.3

Перепишем $- 1 e^{- u}$ в виде $- e^{- u}$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (- e^{- u})$

Этап 4.3.4

Изменим порядок членов.

$- e^{- u} \sin (u) - e^{- u} \cos (u)$