Математический анализ Примеры

$y = \sqrt[5]{t} + 4 \sqrt{t^{5}}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\sqrt[5]{t} + 4 \sqrt{t^{5}}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [\sqrt[5]{t}] + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt[5]{t}] + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\sqrt[5]{t}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{t}$ в виде $t^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{5} t^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{1}{5} t^{\frac{1 - 5}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Этап 2.6.2

Вычтем $5$ из $1$ .

$\frac{1}{5} t^{\frac{- 4}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Этап 2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t^{5}}$ в виде $t^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{d}{d t} [4 t^{\frac{5}{2}}]$

Этап 3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $t$ , производная $4 t^{\frac{5}{2}}$ по $t$ равна $4 \frac{d}{d t} [t^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 \frac{d}{d t} [t^{\frac{5}{2}}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{5}{2} - 1})$

Этап 3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{5 - 2}{2}})$

Этап 3.7.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{3}{2}})$

Этап 3.8

Объединим $\frac{5}{2}$ и $t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 \frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2}$

Этап 3.9

Объединим $4$ и $\frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{4 (5 t^{\frac{3}{2}})}{2}$

Этап 3.10

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{20 t^{\frac{3}{2}}}{2}$

Этап 3.11

Вынесем множитель $2$ из $20 t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{2 (10 t^{\frac{3}{2}})}{2}$

Этап 3.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{2 (10 t^{\frac{3}{2}})}{2 (1)}$

Этап 3.12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{2 (10 t^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1}$

Этап 3.12.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{10 t^{\frac{3}{2}}}{1}$

Этап 3.12.4

Разделим $10 t^{\frac{3}{2}}$ на $1$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 10 t^{\frac{3}{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{t^{\frac{4}{5}}} + 10 t^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{1}{t^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{1}{5 t^{\frac{4}{5}}} + 10 t^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$10 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{5 t^{\frac{4}{5}}}$