Математический анализ Примеры

$(x^{2} - 2 x - 1) (\frac{x + 1}{x + 3})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} - 2 x - 1$ и $g (x) = \frac{x + 1}{x + 3}$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x + 3}] + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + 1$ и $g (x) = x + 3$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Этап 3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{(x + 3) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Этап 3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{(x + 3) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Этап 3.4.2

Умножим $x + 3$ на $1$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Этап 3.5

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Этап 3.7

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Этап 3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Этап 3.8.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Этап 3.9

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.11

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.13

Умножим $- 2$ на $1$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.14

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2 + 0)$

Этап 3.15

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - x - 1 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2)$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - x - 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2)$

Этап 4.2.2

Вычтем $x$ из $x$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{0 + 3 - 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2)$

Этап 4.2.3

Добавим $0$ и $3$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{3 - 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2)$

Этап 4.2.4

Вычтем $1$ из $3$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{2}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2)$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{2}{{(x + 3)}^{2}} + (2 x - 2) \frac{x + 1}{x + 3}$

Этап 4.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $x^{2} - 2 x - 1$ на $\frac{2}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x - 1) \cdot 2}{{(x + 3)}^{2}} + (2 x - 2) \frac{x + 1}{x + 3}$

Этап 4.4.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} - 2 x - 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + (2 x - 2) \frac{x + 1}{x + 3}$

Этап 4.4.3

Умножим $2 x - 2$ на $\frac{x + 1}{x + 3}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(2 x - 2) (x + 1)}{x + 3}$

Этап 4.4.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(2 (x) - 2) (x + 1)}{x + 3}$

Этап 4.4.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(2 (x) + 2 (- 1)) (x + 1)}{x + 3}$

Этап 4.4.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1)}{x + 3}$

Этап 4.5

Чтобы записать $\frac{2 (x - 1) (x + 1)}{x + 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1)}{x + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Этап 4.6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем ${(x + 3)}^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $\frac{2 (x - 1) (x + 1)}{x + 3}$ на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)}{(x + 3) (x + 3)}$

Этап 4.6.2

Возведем $x + 3$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)}{{(x + 3)}^{1} (x + 3)}$

Этап 4.6.3

Возведем $x + 3$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)}{{(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1}}$

Этап 4.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)}{{(x + 3)}^{1 + 1}}$

Этап 4.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1) + 2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2} - 2 x - 1) + 2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1) + 2 (((x - 1) (x + 1)) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.8.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2} - 2 x - 1) + 2 (((x - 1) (x + 1)) (x + 3))$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + ((x - 1) (x + 1)) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.8.2

Развернем $(x - 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x (x + 1) - 1 (x + 1)) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.8.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x + 1)) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.8.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.8.3

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot 1$ и $- 1 x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x \cdot x + 1 x - 1 x - 1 \cdot 1) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.8.3.2

Вычтем $1 x$ из $1 x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x \cdot x + 0 - 1 \cdot 1) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.8.3.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x \cdot x - 1 \cdot 1) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.8.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.4.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x^{2} - 1 \cdot 1) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.8.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x^{2} - 1) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.8.5

Развернем $(x^{2} - 1) (x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{2} (x + 3) - 1 (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.8.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot 3 - 1 (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.8.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.8.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.6.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.6.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.6.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.8.6.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.8.6.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{3} + x^{2} \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.8.6.2

Перенесем $3$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{3} + 3 \cdot x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.8.6.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{3} + 3 x^{2} - x - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.8.6.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{3} + 3 x^{2} - x - 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.8.7

Добавим $x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 1 + x^{3} - x - 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.8.8

Вычтем $x$ из $- 2 x$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - 3 x - 1 + x^{3} - 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.8.9

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - 3 x + x^{3} - 4)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 4.8.10

Изменим порядок членов.

$\frac{2 (x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 4)}{{(x + 3)}^{2}}$