Математический анализ Примеры

$(1 + 7 x^{2}) (x - x^{2})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 1 + 7 x^{2}$ и $g (x) = x - x^{2}$ .

$(1 + 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x - x^{2}] + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(1 + 7 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(1 + 7 x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

Этап 2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + 7 x^{2}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(1 + 7 x^{2}) (1 - (2 x)) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

Этап 2.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(1 + 7 x^{2}) (1 - 2 x) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

Этап 2.6

По правилу суммы производная $1 + 7 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

$(1 + 7 x^{2}) (1 - 2 x) + (x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}])$

Этап 2.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(1 + 7 x^{2}) (1 - 2 x) + (x - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [7 x^{2}])$

Этап 2.8

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

$(1 + 7 x^{2}) (1 - 2 x) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Этап 2.9

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{2}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + 7 x^{2}) (1 - 2 x) + (x - x^{2}) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.10

Перенесем $7$ влево от $x - x^{2}$ .

$(1 + 7 x^{2}) (1 - 2 x) + 7 \cdot (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(1 + 7 x^{2}) (1 - 2 x) + 7 (x - x^{2}) (2 x)$

Этап 2.12

Умножим $2$ на $7$ .

$(1 + 7 x^{2}) (1 - 2 x) + 14 (x - x^{2}) x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1