Математический анализ Примеры

$(x - 1) {(x^{2} + 2)}^{3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x - 1$ и $g (x) = {(x^{2} + 2)}^{3}$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{3}] + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 2$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(x - 1) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 2$ .

$(x - 1) (3 {(x^{2} + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем $3$ влево от $x - 1$ .

$3 \cdot (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2] + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} (2 x + 0) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$3 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} (2 x) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$6 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 3.6

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$6 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3} (1 + 0)$

Этап 3.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Добавим $1$ и $0$ .

$6 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3} \cdot 1$

Этап 3.9.2

Умножим ${(x^{2} + 2)}^{3}$ на $1$ .

$6 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(6 x + 6 \cdot - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3}$

Этап 4.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$(6 x - 6) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3}$

Этап 4.3

Вынесем множитель ${(x^{2} + 2)}^{2}$ из $(6 x - 6) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель ${(x^{2} + 2)}^{2}$ из $(6 x - 6) {(x^{2} + 2)}^{2} x$ .

${(x^{2} + 2)}^{2} ((6 x - 6) x) + {(x^{2} + 2)}^{3}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель ${(x^{2} + 2)}^{2}$ из ${(x^{2} + 2)}^{3}$ .

${(x^{2} + 2)}^{2} ((6 x - 6) x) + {(x^{2} + 2)}^{2} (x^{2} + 2)$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель ${(x^{2} + 2)}^{2}$ из ${(x^{2} + 2)}^{2} ((6 x - 6) x) + {(x^{2} + 2)}^{2} (x^{2} + 2)$ .

${(x^{2} + 2)}^{2} ((6 x - 6) x + x^{2} + 2)$