Математический анализ Примеры

$\cos (\arcsin (\frac{x}{3}))$

Этап 1

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arcsin (\frac{x}{3})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ . Следовательно, $\cos (\arcsin (\frac{x}{3}))$ равно $\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}$ .

$\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}$

Этап 1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}$

Этап 2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \frac{x}{3}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})}$

Этап 3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})}$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}}$

Этап 3.5

Умножим $\frac{3 + x}{3}$ на $\frac{3 - x}{3}$ .

$\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}}$

Этап 3.6

Умножим $3$ на $3$ .

$\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}}$

Этап 4

Перепишем $\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ в виде ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(3 + x) (3 - x)$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}}$

Этап 4.2

Вынесем полную степень $3^{2}$ из $9$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

Этап 4.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}$

Этап 5

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

$\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$