Математический анализ Примеры

$(\frac{x}{x - 3}) + \frac{x - 21}{x^{2} - 9}$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{x}{x - 3} + \frac{x - 21}{x^{2} - 3^{2}}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$\frac{x}{x - 3} + \frac{x - 21}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{x}{x - 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x}{x - 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{x - 21}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 3) (x + 3)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{x}{x - 3}$ на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x (x + 3)}{(x - 3) (x + 3)} + \frac{x - 21}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 3.2

Изменим порядок множителей в $(x - 3) (x + 3)$ .

$\frac{x (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{x - 21}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (x + 3) + x - 21}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 + x - 21}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 3 + x - 21}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 5.3

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 \cdot x + x - 21}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 5.4

Добавим $3 x$ и $x$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 21}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 5.5

Разложим $x^{2} + 4 x - 21$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 21$ , а сумма — $4$ .

$- 3, 7$

Этап 5.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 3) (x + 7)}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 6

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 3) (x + 7)}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 7}{x + 3}$