Математический анализ Примеры

$4 \cos^{2} (x) - 9 \cos (x) + 2 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Подставим $u$ вместо $\cos (x)$ для всех.

$4 u^{2} - 9 u + 2 = 0$

Этап 1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 2 = 8$ , а сумма — $b = - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $- 9$ из $- 9 u$ .

$4 u^{2} - 9 u + 2 = 0$

Этап 1.2.1.2

Запишем $- 9$ как $- 1$ плюс $- 8$

$4 u^{2} + (- 1 - 8) u + 2 = 0$

Этап 1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 u^{2} - 1 u - 8 u + 2 = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 u^{2} - 1 u) - 8 u + 2 = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (4 u - 1) - 2 (4 u - 1) = 0$

Этап 1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 2) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$(4 \cos (x) - 1) (\cos (x) - 2) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) - 2 = 0$

Этап 3

Приравняем $4 \cos (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $4 \cos (x) - 1$ к $0$ .

$4 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $4 \cos (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 \cos (x) = 1$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $4 \cos (x) = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $4 \cos (x) = 1$ на $4$ .

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{4}$

Этап 3.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{1}{4})$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Найдем значение $\arccos (\frac{1}{4})$ .

$x = 1.31811607$

Этап 3.2.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Этап 3.2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Избавимся от скобок.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Этап 3.2.6.2

Упростим $2 (3.14159265) - 1.31811607$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.31811607$

Этап 3.2.6.2.2

Вычтем $1.31811607$ из $6.2831853$ .

$x = 4.96506923$

Этап 3.2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $\cos (x) - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\cos (x) - 2$ к $0$ .

$\cos (x) - 2 = 0$

Этап 4.2

Решим $\cos (x) - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\cos (x) = 2$

Этап 4.2.2

Множество значений косинуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $2$ не попадает в это множество, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 \cos (x) - 1) (\cos (x) - 2) = 0$ верно.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ , для любого целого $n$