Математический анализ Примеры

$- 8 \cos (8 x) = 0$

Этап 1

Разделим каждый член $- 8 \cos (8 x) = 0$ на $- 8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $- 8 \cos (8 x) = 0$ на $- 8$ .

$\frac{- 8 \cos (8 x)}{- 8} = \frac{0}{- 8}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 8 \cos (8 x)}{- 8} = \frac{0}{- 8}$

Этап 1.2.1.2

Разделим $\cos (8 x)$ на $1$ .

$\cos (8 x) = \frac{0}{- 8}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разделим $0$ на $- 8$ .

$\cos (8 x) = 0$

Этап 2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$8 x = \arccos (0)$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$8 x = \frac{π}{2}$

Этап 4

Разделим каждый член $8 x = \frac{π}{2}$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $8 x = \frac{π}{2}$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{\frac{π}{2}}{8}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} = \frac{\frac{π}{2}}{8}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{8}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{8}$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{8}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 8}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $2$ на $8$ .

$x = \frac{π}{16}$

Этап 5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$8 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$8 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$8 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 6.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$8 x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 6.1.5

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$8 x = \frac{3 π}{2}$

Этап 6.2

Разделим каждый член $8 x = \frac{3 π}{2}$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $8 x = \frac{3 π}{2}$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{\frac{3 π}{2}}{8}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} = \frac{\frac{3 π}{2}}{8}$

Этап 6.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{8}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{8}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{1}{8}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 8}$

Этап 6.2.3.2.2

Умножим $2$ на $8$ .

$x = \frac{3 π}{16}$

Этап 7

Найдем период $\cos (8 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $8$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 8 |}$

Этап 7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $8$ равно $8$ .

$\frac{2 π}{8}$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{8}$

Этап 7.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 4}$

Этап 7.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 4}$

Этап 7.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{4}$

Этап 8

Период функции $\cos (8 x)$ равен $\frac{π}{4}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{4}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{16} + \frac{π n}{4}, \frac{3 π}{16} + \frac{π n}{4}$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{16} + \frac{π n}{8}$ , для любого целого $n$