Математический анализ Примеры

$\frac{5^{x^{2}}}{125} = 25^{x}$

Этап 1

Возведем $125$ в степень $1$ .

$\frac{5^{x^{2}}}{125^{1}} = 25^{x}$

Этап 2

Перенесем $125^{1}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$5^{x^{2}} \cdot 125^{- 1} = 25^{x}$

Этап 3

Перепишем $125$ в виде $5^{3}$ .

$5^{x^{2}} \cdot {(5^{3})}^{- 1} = 25^{x}$

Этап 4

Перемножим экспоненты в ${(5^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5^{x^{2}} \cdot 5^{3 \cdot - 1} = 25^{x}$

Этап 4.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$5^{x^{2}} \cdot 5^{- 3} = 25^{x}$

Этап 5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5^{x^{2} - 3} = 25^{x}$

Этап 6

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$5^{x^{2} - 3} = 5^{2 x}$

Этап 7

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x^{2} - 3 = 2 x$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 3 - 2 x = 0$

Этап 8.2

Разложим $x^{2} - 3 - 2 x$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 8.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x + 1) = 0$

Этап 8.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 8.4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 8.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 8.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 8.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 8.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 3, - 1$