Математический анализ Примеры

$\ln (x - 7) + \ln (x + 8) = 1$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 7) (x + 8)) = 1$

Этап 1.2

Развернем $(x - 7) (x + 8)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x (x + 8) - 7 (x + 8)) = 1$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 8 - 7 (x + 8)) = 1$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 8 - 7 x - 7 \cdot 8) = 1$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 8 - 7 x - 7 \cdot 8) = 1$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $8$ влево от $x$ .

$\ln (x^{2} + 8 \cdot x - 7 x - 7 \cdot 8) = 1$

Этап 1.3.1.3

Умножим $- 7$ на $8$ .

$\ln (x^{2} + 8 x - 7 x - 56) = 1$

Этап 1.3.2

Вычтем $7 x$ из $8 x$ .

$\ln (x^{2} + x - 56) = 1$

Этап 2

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x^{2} + x - 56)} = e^{1}$

Этап 3

Перепишем $\ln (x^{2} + x - 56) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x^{2} + x - 56$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} + x - 56 = e^{1}$ .

$x^{2} + x - 56 = e$

Этап 4.2

Вычтем $e$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + x - 56 - e = 0$

Этап 4.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = - 56 - e$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 56 - e))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 56 - e)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 56 - e)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 56 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.4

Умножим $- 4$ на $- 56$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 224 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 224 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.6

Добавим $1$ и $224$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{225 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{225 + 4 e}}{2}$

Этап 4.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - \sqrt{225 + 4 e}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{225 + 4 e}}{2}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\ln (x - 7) + \ln (x + 8) = 1$ истинным.

$x = - \frac{1 - \sqrt{225 + 4 e}}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{1 - \sqrt{225 + 4 e}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 7.17908079 \dots$