Математический анализ Примеры

$2 x - 2 x^{- 2} = 0$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 2 \frac{1}{x^{2}} = 0$

Этап 1.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 2}{x^{2}} = 0$

Этап 1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 x - \frac{2}{x^{2}} = 0$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x^{2}, 1$

Этап 2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2}$

Этап 3

Каждый член в $2 x - \frac{2}{x^{2}} = 0$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $2 x - \frac{2}{x^{2}} = 0$ на $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{2}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{2}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{2}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{2 + 1} - \frac{2}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 3.2.1.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 x^{3} - \frac{2}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{x^{2}}$ в числитель.

$2 x^{3} + \frac{- 2}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{3} + \frac{- 2}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{3} - 2 = 0 x^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $0$ на $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 2 = 0$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{3} = 2$

Этап 4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{3} - 2 = 0$

Этап 4.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 2 = 0$

Этап 4.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (x^{3}) + 2 (- 1) = 0$

Этап 4.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{3}) + 2 (- 1)$ .

$2 (x^{3} - 1) = 0$

Этап 4.3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$2 (x^{3} - 1^{3}) = 0$

Этап 4.3.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$2 ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Этап 4.3.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.1

Умножим $x$ на $1$ .

$2 ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) = 0$

Этап 4.3.4.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$2 ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) = 0$

Этап 4.3.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4.6

Приравняем $x^{2} + x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x^{2} + x + 1$ к $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Этап 4.6.2

Решим $x^{2} + x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.6.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ верно.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$