Математический анализ Примеры

${(\frac{1}{25})}^{1 - 3 x^{2}} = 3^{4 x}$

Этап 1

Возьмем логарифм обеих частей уравнения.

$\ln ({(\frac{1}{25})}^{1 - 3 x^{2}}) = \ln (3^{4 x})$

Этап 2

Развернем $\ln ({(\frac{1}{25})}^{1 - 3 x^{2}})$ , вынося $1 - 3 x^{2}$ из логарифма.

$(1 - 3 x^{2}) \ln (\frac{1}{25}) = \ln (3^{4 x})$

Этап 3

Перепишем $\ln (\frac{1}{25})$ в виде $\ln (1) - \ln (25)$ .

$(1 - 3 x^{2}) (\ln (1) - \ln (25)) = \ln (3^{4 x})$

Этап 4

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$(1 - 3 x^{2}) (0 - \ln (25)) = \ln (3^{4 x})$

Этап 5

Перепишем $\ln (25)$ в виде $\ln (5^{2})$ .

$(1 - 3 x^{2}) (0 - \ln (5^{2})) = \ln (3^{4 x})$

Этап 6

Развернем $\ln (5^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$(1 - 3 x^{2}) (0 - (2 \ln (5))) = \ln (3^{4 x})$

Этап 7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(1 - 3 x^{2}) (0 - 2 \ln (5)) = \ln (3^{4 x})$

Этап 8

Вычтем $2 \ln (5)$ из $0$ .

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = \ln (3^{4 x})$

Этап 9

Развернем $\ln (3^{4 x})$ , вынося $4 x$ из логарифма.

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Этап 10

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим $(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + (1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Этап 10.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Этап 10.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 (- 2 \ln (5)) - 3 x^{2} (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Этап 10.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.4.1

Умножим $- 2 \ln (5)$ на $1$ .

$- 2 \ln (5) - 3 x^{2} (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Этап 10.1.4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 \ln (5) - 3 \cdot - 2 x^{2} \ln (5) = 4 x \ln (3)$

Этап 10.1.4.3

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$- 2 \ln (5) + 6 x^{2} \ln (5) = 4 x \ln (3)$

Этап 10.2

Вычтем $4 x \ln (3)$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \ln (5) + 6 x^{2} \ln (5) - 4 x \ln (3) = 0$

Этап 10.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 10.4

Подставим значения $a = 6 \ln (5)$ , $b = - 4 \ln (3)$ и $c = - 2 \ln (5)$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (3))}^{2} - 4 \cdot (6 \ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))}}{2 (6 \ln (5))}$

Этап 10.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.1

Добавим круглые скобки.

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (3))}^{2} - 4 \cdot (6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5))))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Этап 10.5.1.2

Пусть $u = 6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))$ . Подставим $u$ вместо $6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.2.1

Применим правило умножения к $- 4 \ln (3)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} \ln^{2} (3) - 4 \cdot u}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Этап 10.5.1.2.2

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{16 \ln^{2} (3) - 4 u}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Этап 10.5.1.3

Вынесем множитель $4$ из $16 \ln^{2} (3) - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $16 \ln^{2} (3)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3)) - 4 u}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Этап 10.5.1.3.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 u$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3)) + 4 (- u)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Этап 10.5.1.3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (4 \ln^{2} (3)) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - u)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Этап 10.5.1.4

Заменим все вхождения $u$ на $6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Этап 10.5.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.5.1

Умножим $\ln (5)$ на $\ln (5)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.5.1.1

Перенесем $\ln (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (\ln (5) \ln (5) \cdot - 2)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Этап 10.5.1.5.1.2

Умножим $\ln (5)$ на $\ln (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (\ln^{2} (5) \cdot - 2)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Этап 10.5.1.5.2

Перенесем $- 2$ влево от $\ln^{2} (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (- 2 \cdot \ln^{2} (5))))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Этап 10.5.1.5.3

Умножим $- 2$ на $6$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (- 12 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Этап 10.5.1.5.4

Умножим $- 12$ на $- 1$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) + 12 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Этап 10.5.1.6

Вынесем множитель $4$ из $4 \ln^{2} (3) + 12 \ln^{2} (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \ln^{2} (3)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) + 12 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Этап 10.5.1.6.2

Вынесем множитель $4$ из $12 \ln^{2} (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) + 4 (3 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Этап 10.5.1.6.3

Вынесем множитель $4$ из $4 \ln^{2} (3) + 4 (3 \ln^{2} (5))$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 \cdot (4 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Этап 10.5.1.7

Умножим $4$ на $4$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{16 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Этап 10.5.1.8

Перепишем $16 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))$ в виде ${(2^{2})}^{2} (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.8.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4^{2} (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Этап 10.5.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Этап 10.5.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \ln (3) \pm 2^{2} \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Этап 10.5.1.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm 4 \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Этап 10.5.2

Умножим $2$ на $6$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm 4 \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{12 \ln (5)}$

Этап 10.5.3

Упростим $\frac{4 \ln (3) \pm 4 \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{12 \ln (5)}$ .

$x = \frac{\ln (3) \pm \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}$

Этап 10.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{\ln (3) + \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}, \frac{\ln (3) - \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{\ln (3) + \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}, \frac{\ln (3) - \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}$

Десятичная форма:

$x = 0.84810424 \dots, - 0.39303344 \dots$