Математический анализ Примеры

$4^{x} - 14 \cdot 2^{x} = - 49$

Этап 1

Добавим $49$ к обеим частям уравнения.

$4^{x} - 14 \cdot 2^{x} + 49 = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $4^{x}$ в виде ${(2^{2})}^{x}$ .

${(2^{2})}^{x} - 14 \cdot 2^{x} + 49 = 0$

Этап 2.2

Перепишем ${(2^{2})}^{x}$ в виде ${(2^{x})}^{2}$ .

${(2^{x})}^{2} - 14 \cdot 2^{x} + 49 = 0$

Этап 2.3

Пусть $u = 2^{x}$ . Подставим $u$ вместо $2^{x}$ для всех.

$u^{2} - 14 u + 49 = 0$

Этап 2.4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$u^{2} - 14 u + 7^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$14 u = 2 \cdot u \cdot 7$

Этап 2.4.3

Перепишем многочлен.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 7 + 7^{2} = 0$

Этап 2.4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 7$ .

${(u - 7)}^{2} = 0$

Этап 2.5

Заменим все вхождения $u$ на $2^{x}$ .

${(2^{x} - 7)}^{2} = 0$

Этап 3

Приравняем $2^{x} - 7$ к $0$ .

$2^{x} - 7 = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$2^{x} = 7$

Этап 4.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (2^{x}) = \ln (7)$

Этап 4.3

Развернем $\ln (2^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (2) = \ln (7)$

Этап 4.4

Разделим каждый член $x \ln (2) = \ln (7)$ на $\ln (2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Разделим каждый член $x \ln (2) = \ln (7)$ на $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Этап 4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Сократим общий множитель $\ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Этап 4.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Десятичная форма:

$x = 2.80735492 \dots$