Математический анализ Примеры

$10^{x + 3} = 5 e^{7 - x}$

Этап 1

Возьмем логарифм обеих частей уравнения.

$\ln (10^{x + 3}) = \ln (5 e^{7 - x})$

Этап 2

Развернем $\ln (10^{x + 3})$ , вынося $x + 3$ из логарифма.

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5 e^{7 - x})$

Этап 3

Перепишем $\ln (5 e^{7 - x})$ в виде $\ln (5) + \ln (e^{7 - x})$ .

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5) + \ln (e^{7 - x})$

Этап 4

Развернем $\ln (e^{7 - x})$ , вынося $7 - x$ из логарифма.

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5) + (7 - x) \ln (e)$

Этап 5

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5) + (7 - x) \cdot 1$

Этап 6

Умножим $7 - x$ на $1$ .

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5) + 7 - x$

Этап 7

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$(x + 3) \ln (10) - \ln (5) = 7 - x$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (10) + 3 \ln (10) - \ln (5) = 7 - x$

Этап 7.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим $x \ln (10) + 3 \ln (10) - \ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1

Упростим $3 \ln (10)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$x \ln (10) + \ln (10^{3}) - \ln (5) = 7 - x$

Этап 7.3.1.1.2

Возведем $10$ в степень $3$ .

$x \ln (10) + \ln (1000) - \ln (5) = 7 - x$

Этап 7.3.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (10) + \ln (\frac{1000}{5}) = 7 - x$

Этап 7.3.1.3

Разделим $1000$ на $5$ .

$x \ln (10) + \ln (200) = 7 - x$

Этап 7.4

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$x \ln (10) + \ln (200) + x = 7$

Этап 7.5

Вычтем $\ln (200)$ из обеих частей уравнения.

$x \ln (10) + x = 7 - \ln (200)$

Этап 7.6

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (10) + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (10)$ .

$x (\ln (10)) + x = 7 - \ln (200)$

Этап 7.6.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x (\ln (10)) + x = 7 - \ln (200)$

Этап 7.6.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x (\ln (10)) + x \cdot 1 = 7 - \ln (200)$

Этап 7.6.4

Вынесем множитель $x$ из $x (\ln (10)) + x \cdot 1$ .

$x (\ln (10) + 1) = 7 - \ln (200)$

Этап 7.7

Разделим каждый член $x (\ln (10) + 1) = 7 - \ln (200)$ на $\ln (10) + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Разделим каждый член $x (\ln (10) + 1) = 7 - \ln (200)$ на $\ln (10) + 1$ .

$\frac{x (\ln (10) + 1)}{\ln (10) + 1} = \frac{7}{\ln (10) + 1} + \frac{- \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Этап 7.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.2.1

Сократим общий множитель $\ln (10) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (\ln (10) + 1)}{\ln (10) + 1} = \frac{7}{\ln (10) + 1} + \frac{- \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Этап 7.7.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{7}{\ln (10) + 1} + \frac{- \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Этап 7.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = \frac{7}{\ln (10) + 1} - \frac{\ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Этап 7.7.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{7 - \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{7 - \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Десятичная форма:

$x = 0.51525777 \dots$