Математический анализ Примеры

$(9 x + 4) (12 x - 15) = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Этап 1

Упростим $(9 x + 4) (12 x - 15)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$0 + 0 + (9 x + 4) (12 x - 15) = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Этап 1.2

Упростим путем добавления нулей.

$(9 x + 4) (12 x - 15) = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Этап 1.3

Развернем $(9 x + 4) (12 x - 15)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x (12 x - 15) + 4 (12 x - 15) = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x (12 x) + 9 x \cdot - 15 + 4 (12 x - 15) = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Этап 1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x (12 x) + 9 x \cdot - 15 + 4 (12 x) + 4 \cdot - 15 = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Этап 1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$9 \cdot 12 x \cdot x + 9 x \cdot - 15 + 4 (12 x) + 4 \cdot - 15 = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Этап 1.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Перенесем $x$ .

$9 \cdot 12 (x \cdot x) + 9 x \cdot - 15 + 4 (12 x) + 4 \cdot - 15 = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Этап 1.4.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$9 \cdot 12 x^{2} + 9 x \cdot - 15 + 4 (12 x) + 4 \cdot - 15 = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Этап 1.4.1.3

Умножим $9$ на $12$ .

$108 x^{2} + 9 x \cdot - 15 + 4 (12 x) + 4 \cdot - 15 = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Этап 1.4.1.4

Умножим $- 15$ на $9$ .

$108 x^{2} - 135 x + 4 (12 x) + 4 \cdot - 15 = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Этап 1.4.1.5

Умножим $12$ на $4$ .

$108 x^{2} - 135 x + 48 x + 4 \cdot - 15 = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Этап 1.4.1.6

Умножим $4$ на $- 15$ .

$108 x^{2} - 135 x + 48 x - 60 = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Этап 1.4.2

Добавим $- 135 x$ и $48 x$ .

$108 x^{2} - 87 x - 60 = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Этап 2

Упростим $(2 x - 3) (5 - 4 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Развернем $(2 x - 3) (5 - 4 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 2 x (5 - 4 x) - 3 (5 - 4 x)$

Этап 2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 2 x \cdot 5 + 2 x (- 4 x) - 3 (5 - 4 x)$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 2 x \cdot 5 + 2 x (- 4 x) - 3 \cdot 5 - 3 (- 4 x)$

Этап 2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $5$ на $2$ .

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 10 x + 2 x (- 4 x) - 3 \cdot 5 - 3 (- 4 x)$

Этап 2.2.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 10 x + 2 \cdot - 4 x \cdot x - 3 \cdot 5 - 3 (- 4 x)$

Этап 2.2.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Перенесем $x$ .

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 10 x + 2 \cdot - 4 (x \cdot x) - 3 \cdot 5 - 3 (- 4 x)$

Этап 2.2.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 10 x + 2 \cdot - 4 x^{2} - 3 \cdot 5 - 3 (- 4 x)$

Этап 2.2.1.4

Умножим $2$ на $- 4$ .

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 10 x - 8 x^{2} - 3 \cdot 5 - 3 (- 4 x)$

Этап 2.2.1.5

Умножим $- 3$ на $5$ .

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 10 x - 8 x^{2} - 15 - 3 (- 4 x)$

Этап 2.2.1.6

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 10 x - 8 x^{2} - 15 + 12 x$

Этап 2.2.2

Добавим $10 x$ и $12 x$ .

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 22 x - 8 x^{2} - 15$

Этап 3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $22 x$ из обеих частей уравнения.

$108 x^{2} - 87 x - 60 - 22 x = - 8 x^{2} - 15$

Этап 3.2

Добавим $8 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$108 x^{2} - 87 x - 60 - 22 x + 8 x^{2} = - 15$

Этап 3.3

Добавим $108 x^{2}$ и $8 x^{2}$ .

$116 x^{2} - 87 x - 60 - 22 x = - 15$

Этап 3.4

Вычтем $22 x$ из $- 87 x$ .

$116 x^{2} - 109 x - 60 = - 15$

Этап 4

Добавим $15$ к обеим частям уравнения.

$116 x^{2} - 109 x - 60 + 15 = 0$

Этап 5

Добавим $- 60$ и $15$ .

$116 x^{2} - 109 x - 45 = 0$

Этап 6

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 116 \cdot - 45 = - 5220$ , а сумма — $b = - 109$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $- 109$ из $- 109 x$ .

$116 x^{2} - 109 x - 45 = 0$

Этап 6.1.2

Запишем $- 109$ как $36$ плюс $- 145$

$116 x^{2} + (36 - 145) x - 45 = 0$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$116 x^{2} + 36 x - 145 x - 45 = 0$

Этап 6.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(116 x^{2} + 36 x) - 145 x - 45 = 0$

Этап 6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$4 x (29 x + 9) - 5 (29 x + 9) = 0$

Этап 6.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $29 x + 9$ .

$(29 x + 9) (4 x - 5) = 0$

Этап 7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$29 x + 9 = 0$

$4 x - 5 = 0$

Этап 8

Приравняем $29 x + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $29 x + 9$ к $0$ .

$29 x + 9 = 0$

Этап 8.2

Решим $29 x + 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$29 x = - 9$

Этап 8.2.2

Разделим каждый член $29 x = - 9$ на $29$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Разделим каждый член $29 x = - 9$ на $29$ .

$\frac{29 x}{29} = \frac{- 9}{29}$

Этап 8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $29$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{29 x}{29} = \frac{- 9}{29}$

Этап 8.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 9}{29}$

Этап 8.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{9}{29}$

Этап 9

Приравняем $4 x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $4 x - 5$ к $0$ .

$4 x - 5 = 0$

Этап 9.2

Решим $4 x - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 5$

Этап 9.2.2

Разделим каждый член $4 x = 5$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 5$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Этап 9.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Этап 9.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Этап 10

Окончательным решением являются все значения, при которых $(29 x + 9) (4 x - 5) = 0$ верно.

$x = - \frac{9}{29}, \frac{5}{4}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{9}{29}, \frac{5}{4}$

Десятичная форма:

$x = - 0.31034482 \dots, 1.25$

Форма смешанных чисел:

$x = - \frac{9}{29}, 1 \frac{1}{4}$