Математический анализ Примеры

$x = 0$ , $x = 3$ , $y = 2 e^{5 x}$ , $y = e^{5 x} + e^{10}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$2 e^{5 x} = e^{5 x} + e^{10}$

Этап 1.2

Решим $2 e^{5 x} = e^{5 x} + e^{10}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $e^{5 x}$ в виде степенного выражения.

$2 e^{5 x} = {(e^{x})}^{5} + e^{10} = e^{5 x} + e^{10}$

Этап 1.2.2

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$2 e^{5 x} = u^{5} + e^{10} = e^{5 x} + e^{10}$

Этап 1.2.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вычтем $e^{5 x}$ из обеих частей уравнения.

$2 e^{5 x} - e^{5 x} = e^{10}$

Этап 1.2.3.2

Вычтем $e^{5 x}$ из $2 e^{5 x}$ .

$e^{5 x} = e^{10}$

Этап 1.2.4

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$5 x = 10$

Этап 1.2.5

Разделим каждый член $5 x = 10$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Разделим каждый член $5 x = 10$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{10}{5}$

Этап 1.2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{10}{5}$

Этап 1.2.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{10}{5}$

Этап 1.2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1

Разделим $10$ на $5$ .

$x = 2$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$y = e^{5 (2)} + e^{10}$

Этап 1.3.2

Упростим $e^{5 (2)} + e^{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим $5$ на $2$ .

$y = e^{10} + e^{10}$

Этап 1.3.2.2

Добавим $e^{10}$ и $e^{10}$ .

$y = 2 e^{10}$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(2, 2 e^{10})$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{2} e^{5 x} + e^{10} d x - \int_{0}^{2} 2 e^{5 x} d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{2} e^{5 x} + e^{10} - (2 e^{5 x}) d x$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int_{0}^{2} e^{5 x} + e^{10} - 2 e^{5 x} d x$

Этап 3.3

Вычтем $2 e^{5 x}$ из $e^{5 x}$ .

$\int_{0}^{2} e^{10} - e^{5 x} d x$

Этап 3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{2} e^{10} d x + \int_{0}^{2} - e^{5 x} d x$

Этап 3.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{10} x]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - e^{5 x} d x$

Этап 3.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{10} x]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} e^{5 x} d x$

Этап 3.7

Пусть $u = 5 x$ . Тогда $d u = 5 d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Пусть $u = 5 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Дифференцируем $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 3.7.1.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Этап 3.7.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$5$

Этап 3.7.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

Этап 3.7.3

Умножим $5$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 3.7.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 2$

Этап 3.7.5

Умножим $5$ на $2$ .

$u_{upper} = 10$

Этап 3.7.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 10$

Этап 3.7.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$e^{10} x]_{0}^{2} - \int_{0}^{10} e^{u} \frac{1}{5} d u$

Этап 3.8

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{5}$ .

$e^{10} x]_{0}^{2} - \int_{0}^{10} \frac{e^{u}}{5} d u$

Этап 3.9

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$e^{10} x]_{0}^{2} - (\frac{1}{5} \int_{0}^{10} e^{u} d u)$

Этап 3.10

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{10} x]_{0}^{2} - \frac{1}{5} e^{u}]_{0}^{10}$

Этап 3.11

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Найдем значение $e^{10} x$ в $2$ и в $0$ .

$(e^{10} \cdot 2) - e^{10} \cdot 0 - \frac{1}{5} e^{u}]_{0}^{10}$

Этап 3.11.2

Найдем значение $e^{u}$ в $10$ и в $0$ .

$(e^{10} \cdot 2) - e^{10} \cdot 0 - \frac{1}{5} ((e^{10}) - e^{0})$

Этап 3.11.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.1

Перенесем $2$ влево от $e^{10}$ .

$2 \cdot e^{10} - e^{10} \cdot 0 - \frac{1}{5} ((e^{10}) - e^{0})$

Этап 3.11.3.2

Умножим $0$ на $- 1$ .

$2 e^{10} + 0 e^{10} - \frac{1}{5} ((e^{10}) - e^{0})$

Этап 3.11.3.3

Умножим $0$ на $e^{10}$ .

$2 e^{10} + 0 - \frac{1}{5} ((e^{10}) - e^{0})$

Этап 3.11.3.4

Добавим $2 e^{10}$ и $0$ .

$2 e^{10} - \frac{1}{5} ((e^{10}) - e^{0})$

Этап 3.11.3.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$2 e^{10} - \frac{1}{5} (e^{10} - 1 \cdot 1)$

Этап 3.11.3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 e^{10} - \frac{1}{5} (e^{10} - 1)$

Этап 3.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 e^{10} - \frac{1}{5} e^{10} - \frac{1}{5} \cdot - 1$

Этап 3.12.1.2

Объединим $e^{10}$ и $\frac{1}{5}$ .

$2 e^{10} - \frac{e^{10}}{5} - \frac{1}{5} \cdot - 1$

Этап 3.12.1.3

Умножим $- \frac{1}{5} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 e^{10} - \frac{e^{10}}{5} + 1 (\frac{1}{5})$

Этап 3.12.1.3.2

Умножим $\frac{1}{5}$ на $1$ .

$2 e^{10} - \frac{e^{10}}{5} + \frac{1}{5}$

Этап 3.12.2

Чтобы записать $2 e^{10}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$2 e^{10} \cdot \frac{5}{5} - \frac{e^{10}}{5} + \frac{1}{5}$

Этап 3.12.3

Объединим $2 e^{10}$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 e^{10} \cdot 5}{5} - \frac{e^{10}}{5} + \frac{1}{5}$

Этап 3.12.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 e^{10} \cdot 5 - e^{10}}{5} + \frac{1}{5}$

Этап 3.12.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 e^{10} \cdot 5 - e^{10} + 1}{5}$

Этап 3.12.6

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{10 e^{10} - e^{10} + 1}{5}$

Этап 3.12.7

Вычтем $e^{10}$ из $10 e^{10}$ .

$\frac{9 e^{10} + 1}{5}$

Этап 4

$A r e a = \int_{2}^{3} 2 e^{5 x} d x - \int_{2}^{3} e^{5 x} + e^{10} d x$

Этап 5

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $2$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{2}^{3} 2 e^{5 x} - (e^{5 x} + e^{10}) d x$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{2}^{3} 2 e^{5 x} - e^{5 x} - e^{10} d x$

Этап 5.3

Вычтем $e^{5 x}$ из $2 e^{5 x}$ .

$\int_{2}^{3} e^{5 x} - e^{10} d x$

Этап 5.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{2}^{3} e^{5 x} d x + \int_{2}^{3} - e^{10} d x$

Этап 5.5

Пусть $u = 5 x$ . Тогда $d u = 5 d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Пусть $u = 5 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Дифференцируем $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 5.5.1.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Этап 5.5.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$5$

Этап 5.5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 \cdot 2$

Этап 5.5.3

Умножим $5$ на $2$ .

$u_{lower} = 10$

Этап 5.5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 3$

Этап 5.5.5

Умножим $5$ на $3$ .

$u_{upper} = 15$

Этап 5.5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 10$

$u_{upper} = 15$

Этап 5.5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{10}^{15} e^{u} \frac{1}{5} d u + \int_{2}^{3} - e^{10} d x$

Этап 5.6

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{5}$ .

$\int_{10}^{15} \frac{e^{u}}{5} d u + \int_{2}^{3} - e^{10} d x$

Этап 5.7

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} \int_{10}^{15} e^{u} d u + \int_{2}^{3} - e^{10} d x$

Этап 5.8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{5} e^{u}]_{10}^{15} + \int_{2}^{3} - e^{10} d x$

Этап 5.9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{5} e^{u}]_{10}^{15} + - e^{10} x]_{2}^{3}$

Этап 5.10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.1

Найдем значение $e^{u}$ в $15$ и в $10$ .

$\frac{1}{5} ((e^{15}) - e^{10}) + - e^{10} x]_{2}^{3}$

Этап 5.10.2

Найдем значение $- e^{10} x$ в $3$ и в $2$ .

$\frac{1}{5} ((e^{15}) - e^{10}) + (- e^{10} \cdot 3) + e^{10} \cdot 2$

Этап 5.10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.3.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{5} (e^{15} - e^{10}) - 3 e^{10} + e^{10} \cdot 2$

Этап 5.10.3.2

Перенесем $2$ влево от $e^{10}$ .

$\frac{1}{5} (e^{15} - e^{10}) - 3 e^{10} + 2 \cdot e^{10}$

Этап 5.10.3.3

Добавим $- 3 e^{10}$ и $2 e^{10}$ .

$\frac{1}{5} (e^{15} - e^{10}) - e^{10}$

Этап 5.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{5} e^{15} + \frac{1}{5} (- e^{10}) - e^{10}$

Этап 5.11.1.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $e^{15}$ .

$\frac{e^{15}}{5} + \frac{1}{5} (- e^{10}) - e^{10}$

Этап 5.11.1.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $e^{10}$ .

$\frac{e^{15}}{5} - \frac{e^{10}}{5} - e^{10}$

Этап 5.11.2

Чтобы записать $- e^{10}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{e^{15}}{5} - \frac{e^{10}}{5} - e^{10} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 5.11.3

Объединим $- e^{10}$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{e^{15}}{5} - \frac{e^{10}}{5} + \frac{- e^{10} \cdot 5}{5}$

Этап 5.11.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{15}}{5} + \frac{- e^{10} - e^{10} \cdot 5}{5}$

Этап 5.11.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{15} - e^{10} - e^{10} \cdot 5}{5}$

Этап 5.11.6

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{e^{15} - e^{10} - 5 e^{10}}{5}$

Этап 5.11.7

Вычтем $5 e^{10}$ из $- e^{10}$ .

$\frac{e^{15} - 6 e^{10}}{5}$

Этап 6

Сложим площади $\frac{9 e^{10} + 1}{5} + \frac{e^{15} - 6 e^{10}}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9 e^{10} + 1 + e^{15} - 6 e^{10}}{5}$

Этап 6.2

Вычтем $6 e^{10}$ из $9 e^{10}$ .

$\frac{3 e^{10} + 1 + e^{15}}{5}$

Этап 7