Математический анализ Примеры

$\ln ({(7 x^{9} + 4 x)}^{\frac{9}{5}})$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Приравняем аргумент логарифма к нулю.

${(7 x^{9} + 4 x)}^{\frac{9}{5}} = 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Приравняем $7 x^{9} + 4 x$ к $0$ .

$7 x^{9} + 4 x = 0$

Этап 1.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $7 x^{9} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $7 x^{9}$ .

$x (7 x^{8}) + 4 x = 0$

Этап 1.2.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $4 x$ .

$x (7 x^{8}) + x \cdot 4 = 0$

Этап 1.2.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (7 x^{8}) + x \cdot 4$ .

$x (7 x^{8} + 4) = 0$

Этап 1.2.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$7 x^{8} + 4 = 0$

Этап 1.2.2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.2.4

Приравняем $7 x^{8} + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.4.1

Приравняем $7 x^{8} + 4$ к $0$ .

$7 x^{8} + 4 = 0$

Этап 1.2.2.4.2

Решим $7 x^{8} + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.4.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$7 x^{8} = - 4$

Этап 1.2.2.4.2.2

Разделим каждый член $7 x^{8} = - 4$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.4.2.2.1

Разделим каждый член $7 x^{8} = - 4$ на $7$ .

$\frac{7 x^{8}}{7} = \frac{- 4}{7}$

Этап 1.2.2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x^{8}}{7} = \frac{- 4}{7}$

Этап 1.2.2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x^{8}$ на $1$ .

$x^{8} = \frac{- 4}{7}$

Этап 1.2.2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{8} = - \frac{4}{7}$

Этап 1.2.2.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[8]{- \frac{4}{7}}$

Этап 1.2.2.4.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.4.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt[8]{- \frac{4}{7}}$

Этап 1.2.2.4.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt[8]{- \frac{4}{7}}$

Этап 1.2.2.4.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt[8]{- \frac{4}{7}}, - \sqrt[8]{- \frac{4}{7}}$

Этап 1.2.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (7 x^{8} + 4) = 0$ верно.

$x = 0, \sqrt[8]{- \frac{4}{7}}, - \sqrt[8]{- \frac{4}{7}}$

Этап 1.2.3

Исключим решения, которые не делают ${(7 x^{9} + 4 x)}^{\frac{9}{5}} = 0$ истинным.

$x = 0$

Этап 1.3

Вертикальная асимптота возникает в $x = 0$ .

Вертикальная асимптота: $x = 0$

Этап 2

Найдем точку в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \ln ({(7 {(1)}^{9} + 4 (1))}^{\frac{9}{5}})$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \ln ({(7 \cdot 1 + 4 (1))}^{\frac{9}{5}})$

Этап 2.2.1.2

Умножим $7$ на $1$ .

$f (1) = \ln ({(7 + 4 (1))}^{\frac{9}{5}})$

Этап 2.2.1.3

Умножим $4$ на $1$ .

$f (1) = \ln ({(7 + 4)}^{\frac{9}{5}})$

Этап 2.2.2

Добавим $7$ и $4$ .

$f (1) = \ln (11^{\frac{9}{5}})$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $\ln (11^{\frac{9}{5}})$ .

$\ln (11^{\frac{9}{5}})$

Этап 2.3

Преобразуем $\ln (11^{\frac{9}{5}})$ в десятичное представление.

$y = 4.31621149$

Этап 3

Найдем точку в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \ln ({(7 {(2)}^{9} + 4 (2))}^{\frac{9}{5}})$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведем $2$ в степень $9$ .

$f (2) = \ln ({(7 \cdot 512 + 4 (2))}^{\frac{9}{5}})$

Этап 3.2.1.2

Умножим $7$ на $512$ .

$f (2) = \ln ({(3584 + 4 (2))}^{\frac{9}{5}})$

Этап 3.2.1.3

Умножим $4$ на $2$ .

$f (2) = \ln ({(3584 + 8)}^{\frac{9}{5}})$

Этап 3.2.2

Добавим $3584$ и $8$ .

$f (2) = \ln (3592^{\frac{9}{5}})$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $\ln (3592^{\frac{9}{5}})$ .

$\ln (3592^{\frac{9}{5}})$

Этап 3.3

Преобразуем $\ln (3592^{\frac{9}{5}})$ в десятичное представление.

$y = 14.73563597$

Этап 4

Найдем точку в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \ln ({(7 {(3)}^{9} + 4 (3))}^{\frac{9}{5}})$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $3$ в степень $9$ .

$f (3) = \ln ({(7 \cdot 19683 + 4 (3))}^{\frac{9}{5}})$

Этап 4.2.1.2

Умножим $7$ на $19683$ .

$f (3) = \ln ({(137781 + 4 (3))}^{\frac{9}{5}})$

Этап 4.2.1.3

Умножим $4$ на $3$ .

$f (3) = \ln ({(137781 + 12)}^{\frac{9}{5}})$

Этап 4.2.2

Добавим $137781$ и $12$ .

$f (3) = \ln (137793^{\frac{9}{5}})$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $\ln (137793^{\frac{9}{5}})$ .

$\ln (137793^{\frac{9}{5}})$

Этап 4.3

Преобразуем $\ln (137793^{\frac{9}{5}})$ в десятичное представление.

$y = 21.3003141$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = 0$ и точек $(1, 4.31621149), (2, 14.73563597), (3, 21.3003141)$ .

Вертикальная асимптота: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 4.316 \\ 2 & 14.736 \\ 3 & 21.3 \end{array}$

Этап 6