Математический анализ Примеры

$\sqrt{x} \ln (x)$

Этап 1

Найдем область определения $y = \sqrt{x} \ln (x)$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ , то есть список точек, которые помогут составить график корня.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим аргумент в $\ln (x)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x > 0$

Этап 1.2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 0}$

Интервальное представление:

$(0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 0}$

Этап 2

Чтобы найти конечную точку графика выражения с радикалом, подставим $x$ значение $0$ , которое является наименьшим значением в области определения, в уравнение $f (x) = \sqrt{x} \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \sqrt{0} \ln (0)$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$f (0) = \sqrt{0} \ln (0)$

Этап 2.3

Натуральный логарифм нуля не определен.

$f (0) = Undefined$

Неопределенные

Этап 3

Конечная точка подкоренного выражения: $(0, Undefined)$ .

$(0, Undefined)$

Этап 4

Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения $x$ , идущие сразу после начала области определения выражения с корнем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = \sqrt{x} \ln (x)$ . В данном случае получится точка $(1, 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \sqrt{1} \ln (1)$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (1) = \sqrt{1} \ln (1)$

Этап 4.1.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (1) = 1 \ln (1)$

Этап 4.1.2.3

Умножим $\ln (1)$ на $1$ .

$f (1) = \ln (1)$

Этап 4.1.2.4

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$f (1) = 0$

Этап 4.1.2.5

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 4.2

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = \sqrt{x} \ln (x)$ . В данном случае получится точка $(2, \sqrt{2} \ln (2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \sqrt{2} \ln (2)$

Этап 4.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Избавимся от скобок.

$f (2) = \sqrt{2} \ln (2)$

Этап 4.2.2.2

Окончательный ответ: $\sqrt{2} \ln (2)$ .

$y = \sqrt{2} \ln (2)$

Этап 4.3

График квадратного корня можно построить с помощью точек вокруг вершины $(0, Undefined), (1, 0), (2, 0.98)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & Undefined \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.98 \end{array}$

Этап 5