Математический анализ Примеры

$\frac{\ln (x)}{e^{x}}$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем, где выражение $\frac{\ln (x)}{e^{x}}$ не определено.

$x \leq 0$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{\ln (x)}{e^{x}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $0$ слева, а $\frac{\ln (x)}{e^{x}}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $0$ справа, то $x = 0$ — вертикальная асимптота.

$x = 0$

Этап 1.3

Вычислим $lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Этап 1.3.1.1.2

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Этап 1.3.1.1.3

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.3.1.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.3.1.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 1.3.1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 1.3.1.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 1.3.1.3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}$

Этап 1.3.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

Этап 1.3.1.5

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{e^{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x}}$

Этап 1.3.2

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x e^{x}}$ стремится к $0$ .

$0$

Этап 1.4

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = 0$

Этап 1.5

У логарифмических и тригонометрических функций нет наклонных асимптот.

Нет наклонных асимптот

Этап 1.6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 0$

Горизонтальные асимптоты: $y = 0$

Вертикальные асимптоты: $x = 0$

Горизонтальные асимптоты: $y = 0$

Этап 2

Найдем точку в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{\ln (1)}{e^{1}}$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$f (1) = \frac{0}{e}$

Этап 2.2.2

Разделим $0$ на $e$ .

$f (1) = 0$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.3

Преобразуем $0$ в десятичное представление.

$y = 0$

Этап 3

Найдем точку в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{\ln (2)}{e^{2}}$

Этап 3.2

Окончательный ответ: $\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ .

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$

Этап 3.3

Преобразуем $\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ в десятичное представление.

$y = 0.09380727$

Этап 4

Найдем точку в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \frac{\ln (3)}{e^{3}}$

Этап 4.2

Окончательный ответ: $\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ .

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$

Этап 4.3

Преобразуем $\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ в десятичное представление.

$y = 0.05469668$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = 0$ и точек $(1, 0), (2, 0.09380727), (3, 0.05469668)$ .

Вертикальная асимптота: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.094 \\ 3 & 0.055 \end{array}$

Этап 6