Математический анализ Примеры

График ( натуральный логарифм от x)/(e^x)
Этап 1
Найдем асимптоты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Найдем, где выражение не определено.
Этап 1.2
Поскольку как слева, а как справа, то  — вертикальная асимптота.
Этап 1.3
Вычислим , чтобы определить горизонтальную асимптоту.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1
Применим правило Лопиталя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1.1
Найдем предел числителя и предел знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1.1.1
Возьмем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 1.3.1.1.2
Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к .
Этап 1.3.1.1.3
Поскольку показатель степени стремится к , величина стремится к .
Этап 1.3.1.1.4
Деление бесконечности на бесконечность не определено.
Неопределенные
Этап 1.3.1.2
Поскольку является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Этап 1.3.1.3
Найдем производную числителя и знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1.3.1
Продифференцируем числитель и знаменатель.
Этап 1.3.1.3.2
Производная по равна .
Этап 1.3.1.3.3
Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что имеет вид , где =.
Этап 1.3.1.4
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 1.3.1.5
Умножим на .
Этап 1.3.2
Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь стремится к .
Этап 1.4
Перечислим горизонтальные асимптоты:
Этап 1.5
У логарифмических и тригонометрических функций нет наклонных асимптот.
Нет наклонных асимптот
Этап 1.6
Это множество всех асимптот.
Вертикальные асимптоты:
Горизонтальные асимптоты:
Вертикальные асимптоты:
Горизонтальные асимптоты:
Этап 2
Найдем точку в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 2.2
Упростим результат.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.1
Натуральный логарифм равен .
Этап 2.2.2
Разделим на .
Этап 2.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 2.3
Преобразуем в десятичное представление.
Этап 3
Найдем точку в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 3.2
Окончательный ответ: .
Этап 3.3
Преобразуем в десятичное представление.
Этап 4
Найдем точку в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 4.2
Окончательный ответ: .
Этап 4.3
Преобразуем в десятичное представление.
Этап 5
График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке и точек .
Вертикальная асимптота:
Этап 6