Математический анализ Примеры

$\ln (3 x^{2} - 2 x + 1)$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Приравняем аргумент логарифма к нулю.

$3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.2

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 2$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.1.2.2

Умножим $- 12$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.1.3

Вычтем $12$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.1.4

Перепишем $- 8$ в виде $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (8)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.1.7

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Этап 1.2.3.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Этап 1.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.4.1.2.2

Умножим $- 12$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.4.1.3

Вычтем $12$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.4.1.4

Перепишем $- 8$ в виде $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (8)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.4.1.7

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.4.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.4.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Этап 1.2.4.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Этап 1.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}$

Этап 1.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.5.1.2.2

Умножим $- 12$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.5.1.3

Вычтем $12$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.5.1.4

Перепишем $- 8$ в виде $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (8)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.5.1.7

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.5.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.5.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Этап 1.2.5.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Этап 1.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Этап 1.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Этап 1.3

Вертикальная асимптота возникает в $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$ .

Вертикальная асимптота: $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Этап 2

Найдем точку в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \ln (3 {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1)$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \ln (3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 1)$

Этап 2.2.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f (1) = \ln (3 - 2 \cdot 1 + 1)$

Этап 2.2.1.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (1) = \ln (3 - 2 + 1)$

Этап 2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $2$ из $3$ .

$f (1) = \ln (1 + 1)$

Этап 2.2.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f (1) = \ln (2)$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Этап 2.3

Преобразуем $\ln (2)$ в десятичное представление.

$y = 0.69314718$

Этап 3

Найдем точку в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \ln (3 {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 + 1)$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = \ln (3 \cdot 4 - 2 \cdot 2 + 1)$

Этап 3.2.1.2

Умножим $3$ на $4$ .

$f (2) = \ln (12 - 2 \cdot 2 + 1)$

Этап 3.2.1.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f (2) = \ln (12 - 4 + 1)$

Этап 3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $4$ из $12$ .

$f (2) = \ln (8 + 1)$

Этап 3.2.2.2

Добавим $8$ и $1$ .

$f (2) = \ln (9)$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $\ln (9)$ .

$\ln (9)$

Этап 3.3

Преобразуем $\ln (9)$ в десятичное представление.

$y = 2.19722457$

Этап 4

Найдем точку в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \ln (3 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 + 1)$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $3$ на ${(3)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Умножим $3$ на ${(3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$f (3) = \ln (3 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 + 1)$

Этап 4.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (3) = \ln (3^{1 + 2} - 2 \cdot 3 + 1)$

Этап 4.2.1.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (3) = \ln (3^{3} - 2 \cdot 3 + 1)$

Этап 4.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (3) = \ln (27 - 2 \cdot 3 + 1)$

Этап 4.2.1.3

Умножим $- 2$ на $3$ .

$f (3) = \ln (27 - 6 + 1)$

Этап 4.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вычтем $6$ из $27$ .

$f (3) = \ln (21 + 1)$

Этап 4.2.2.2

Добавим $21$ и $1$ .

$f (3) = \ln (22)$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $\ln (22)$ .

$\ln (22)$

Этап 4.3

Преобразуем $\ln (22)$ в десятичное представление.

$y = 3.09104245$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$ и точек $(1, 0.69314718), (2, 2.19722457), (3, 3.09104245)$ .

Вертикальная асимптота: $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.693 \\ 2 & 2.197 \\ 3 & 3.091 \end{array}$

Этап 6