Математический анализ Примеры

$\ln (1 + x^{2})$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Приравняем аргумент логарифма к нулю.

$1 + x^{2} = 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 1$

Этап 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 1.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 1.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 1.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 1.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 1.3

Вертикальная асимптота возникает в $x = i, x = - i$ .

Вертикальная асимптота: $x = i, x = - i$

Этап 2

Найдем точку в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \ln (1 + {(1)}^{2})$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \ln (1 + 1)$

Этап 2.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f (1) = \ln (2)$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Этап 2.3

Преобразуем $\ln (2)$ в десятичное представление.

$y = 0.69314718$

Этап 3

Найдем точку в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \ln (1 + {(2)}^{2})$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = \ln (1 + 4)$

Этап 3.2.2

Добавим $1$ и $4$ .

$f (2) = \ln (5)$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $\ln (5)$ .

$\ln (5)$

Этап 3.3

Преобразуем $\ln (5)$ в десятичное представление.

$y = 1.60943791$

Этап 4

Найдем точку в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \ln (1 + {(3)}^{2})$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = \ln (1 + 9)$

Этап 4.2.2

Добавим $1$ и $9$ .

$f (3) = \ln (10)$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $\ln (10)$ .

$\ln (10)$

Этап 4.3

Преобразуем $\ln (10)$ в десятичное представление.

$y = 2.30258509$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = i, x = - i$ и точек $(1, 0.69314718), (2, 1.60943791), (3, 2.30258509)$ .

Вертикальная асимптота: $x = i, x = - i$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.693 \\ 2 & 1.609 \\ 3 & 2.303 \end{array}$

Этап 6