Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}{\tan (5 x)}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} 3 x)}{\tan (5 x)}$

Этап 1.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\tan (3 lim_{x \to 0} x)}{\tan (5 x)}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\tan (3 \cdot 0)}{\tan (5 x)}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Выразим $\tan (5 x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\tan (3 \cdot 0)}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Этап 3.2

Выразим $\tan (3 \cdot 0)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{\sin (3 \cdot 0)}{\cos (3 \cdot 0)}}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Этап 3.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 0)}{\cos (3 \cdot 0)} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Переведем $\frac{\sin (3 \cdot 0)}{\cos (3 \cdot 0)}$ в $\tan (3 \cdot 0)$ .

$\tan (3 \cdot 0) \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Этап 3.4.2

Переведем $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ в $\cot (5 x)$ .

$\tan (3 \cdot 0) \cot (5 x)$

Этап 3.5

Умножим $3$ на $0$ .

$\tan (0) \cot (5 x)$

Этап 3.6

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$0 \cot (5 x)$

Этап 3.7

Умножим $0$ на $\cot (5 x)$ .

$0$