Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 0} x + x \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 + lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 + 0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Этап 4.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 + 0 \cdot \cos (0)}{\sin (x) \cos (x)}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{0 + 0 \cdot 1}{\sin (x) \cos (x)}$

Этап 5.1.2

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{0 + 0}{\sin (x) \cos (x)}$

Этап 5.1.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{\sin (x) \cos (x)}$

Этап 5.2

Разделим дроби.

$\frac{0}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 5.3

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\frac{0}{\cos (x)} \csc (x)$

Этап 5.4

Разделим дроби.

$\frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \csc (x)$

Этап 5.5

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{0}{1} \sec (x) \csc (x)$

Этап 5.6

Разделим $0$ на $1$ .

$0 \sec (x) \csc (x)$

Этап 5.7

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$0 \csc (x)$

Этап 5.8

Умножим $0$ на $\csc (x)$ .

$0$