Математический анализ Примеры

Построить касательную в точке x^(2/3)+y^(2/3)=4 , (-3 квадратный корень из 3,1)
,
Этап 1
Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках и , чтобы найти угловой коэффициент касательной.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Продифференцируем обе части уравнения.
Этап 1.2
Продифференцируем левую часть уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.2.2
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.2.1
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.2.2.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.2.2.3
Объединим и .
Этап 1.2.2.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.2.2.5
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.2.5.1
Умножим на .
Этап 1.2.2.5.2
Вычтем из .
Этап 1.2.2.6
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.2.3
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.3.1
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.3.1.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.2.3.1.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.2.3.1.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.2.3.2
Перепишем в виде .
Этап 1.2.3.3
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.2.3.4
Объединим и .
Этап 1.2.3.5
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.2.3.6
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.3.6.1
Умножим на .
Этап 1.2.3.6.2
Вычтем из .
Этап 1.2.3.7
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.2.3.8
Объединим и .
Этап 1.2.3.9
Объединим и .
Этап 1.2.3.10
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 1.2.4
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.4.1
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней .
Этап 1.2.4.2
Умножим на .
Этап 1.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.4
Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.
Этап 1.5
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 1.5.2
Умножим обе части на .
Этап 1.5.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.3.1
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.3.1.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.3.1.1.1
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 1.5.3.1.1.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.3.1.1.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.5.3.1.1.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 1.5.3.1.1.3
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.3.1.1.3.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.5.3.1.1.3.2
Перепишем это выражение.
Этап 1.5.3.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.3.2.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.3.2.1.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.3.2.1.1.1
Перенесем стоящий впереди знак минуса в в числитель.
Этап 1.5.3.2.1.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 1.5.3.2.1.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 1.5.3.2.1.1.4
Сократим общий множитель.
Этап 1.5.3.2.1.1.5
Перепишем это выражение.
Этап 1.5.3.2.1.2
Объединим и .
Этап 1.5.3.2.1.3
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.5.4
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.4.1
Разделим каждый член на .
Этап 1.5.4.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.4.2.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.4.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.5.4.2.1.2
Разделим на .
Этап 1.5.4.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.4.3.1
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 1.5.4.3.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.4.3.2.1
Перенесем стоящий впереди знак минуса в в числитель.
Этап 1.5.4.3.2.2
Вынесем множитель из .
Этап 1.5.4.3.2.3
Сократим общий множитель.
Этап 1.5.4.3.2.4
Перепишем это выражение.
Этап 1.5.4.3.3
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.6
Заменим на .
Этап 1.7
Найдем значение в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.7.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 1.7.2
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 1.7.3
Единица в любой степени равна единице.
Этап 1.7.4
Применим правило умножения к .
Этап 2
Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Используем угловой коэффициент и координаты заданной точки вместо и в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом .
Этап 2.2
Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.
Этап 2.3
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.1.1
Перепишем.
Этап 2.3.1.2
Упростим путем добавления нулей.
Этап 2.3.1.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.3.1.4
Объединим и .
Этап 2.3.1.5
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.1.5.1
Умножим на .
Этап 2.3.1.5.2
Объединим и .
Этап 2.3.1.5.3
Объединим и .
Этап 2.3.1.6
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.1.6.1
Перенесем в числитель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 2.3.1.6.2
Перенесем в числитель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 2.3.1.6.3
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.1.6.3.1
Перенесем .
Этап 2.3.1.6.3.2
Умножим на .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.1.6.3.2.1
Возведем в степень .
Этап 2.3.1.6.3.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.3.1.6.3.3
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 2.3.1.6.3.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2.3.1.6.3.5
Добавим и .
Этап 2.3.1.6.4
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.1.6.4.1
Перенесем .
Этап 2.3.1.6.4.2
Умножим на .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.1.6.4.2.1
Возведем в степень .
Этап 2.3.1.6.4.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.3.1.6.4.3
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 2.3.1.6.4.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2.3.1.6.4.5
Добавим и .
Этап 2.3.1.6.5
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.1.6.5.1
С помощью запишем в виде .
Этап 2.3.1.6.5.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 2.3.1.6.5.3
Умножим на .
Этап 2.3.1.6.5.4
Умножим на .
Этап 2.3.1.6.5.5
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.1.6.5.5.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.3.1.6.5.5.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.1.6.5.5.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.3.1.6.5.5.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 2.3.1.6.5.5.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 2.3.1.6.5.6
Перепишем в виде .
Этап 2.3.2
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 2.3.3
Запишем в форме .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.3.1
Изменим порядок членов.
Этап 2.3.3.2
Избавимся от скобок.
Этап 3