Математический анализ Примеры

$x^{3} + y^{3} - 9 x y = 0$ , $(2, 4)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 2$ и $y = 4$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3} - 9 x y) = \frac{d}{d x} (0)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + y^{3} - 9 x y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Этап 1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Этап 1.2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Этап 1.2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Этап 1.2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x y$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y \cdot 1)$

Этап 1.2.3.5

Умножим $y$ на $1$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y)$

Этап 1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y') - 9 y$

Этап 1.2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y$

Этап 1.3

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y = 0$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y = - 3 x^{2}$

Этап 1.5.1.2

Добавим $9 y$ к обеим частям уравнения.

$3 y^{2} y' - 9 x y' = - 3 x^{2} + 9 y$

Этап 1.5.2

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y^{2} y' - 9 x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 9 x y' = - 3 x^{2} + 9 y$

Этап 1.5.2.2

Вынесем множитель $3 y'$ из $- 9 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$

Этап 1.5.2.3

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y' y^{2} + 3 y' (- 3 x)$ .

$3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$

Этап 1.5.3

Разделим каждый член $3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$ на $3 (y^{2} - 3 x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Разделим каждый член $3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$ на $3 (y^{2} - 3 x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 3 x)}{3 (y^{2} - 3 x)} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Этап 1.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y' (y^{2} - 3 x)}{3 (y^{2} - 3 x)} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (y^{2} - 3 x)}{y^{2} - 3 x} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $y^{2} - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y^{2} - 3 x)}{y^{2} - 3 x} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Этап 1.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Этап 1.5.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Этап 1.5.3.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Этап 1.5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Этап 1.5.3.3.1.3

Сократим общий множитель $9$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $9 y$ .

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 (3 y)}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Этап 1.5.3.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 (3 y)}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Этап 1.5.3.3.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 y}{y^{2} - 3 x}$

Этап 1.5.3.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- x^{2} + 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Этап 1.5.3.3.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$y' = \frac{- (x^{2}) + 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Этап 1.5.3.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $3 y$ .

$y' = \frac{- (x^{2}) - (- 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

Этап 1.5.3.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 3 y)$ .

$y' = \frac{- (x^{2} - 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

Этап 1.5.3.3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.2.5.1

Перепишем $- (x^{2} - 3 y)$ в виде $- 1 (x^{2} - 3 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x^{2} - 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

Этап 1.5.3.3.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 2$ в $y = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$- \frac{{(2)}^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 \cdot 2}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $4$ .

$- \frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 4}{{(4)}^{2} - 3 \cdot 2}$

Этап 1.7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{4 - 3 \cdot 4}{4^{2} - 3 \cdot 2}$

Этап 1.7.3.2

Умножим $- 3$ на $4$ .

$- \frac{4 - 12}{4^{2} - 3 \cdot 2}$

Этап 1.7.3.3

Вычтем $12$ из $4$ .

$- \frac{- 8}{4^{2} - 3 \cdot 2}$

Этап 1.7.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- \frac{- 8}{16 - 3 \cdot 2}$

Этап 1.7.4.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$- \frac{- 8}{16 - 6}$

Этап 1.7.4.3

Вычтем $6$ из $16$ .

$- \frac{- 8}{10}$

Этап 1.7.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Сократим общий множитель $- 8$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$- \frac{2 (- 4)}{10}$

Этап 1.7.5.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$- \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 5}$

Этап 1.7.5.1.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 5}$

Этап 1.7.5.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{- 4}{5}$

Этап 1.7.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{4}{5}$

Этап 1.7.6

Умножим $- - \frac{4}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{4}{5})$

Этап 1.7.6.2

Умножим $\frac{4}{5}$ на $1$ .

$\frac{4}{5}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{4}{5}$ и координаты заданной точки $(2, 4)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{4}{5} \cdot (x - (2))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 4 = \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{4}{5} \cdot (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 4 = \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 4 = \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.4

Объединим $\frac{4}{5}$ и $x$ .

$y - 4 = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.5

Умножим $\frac{4}{5} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Объединим $\frac{4}{5}$ и $- 2$ .

$y - 4 = \frac{4 x}{5} + \frac{4 \cdot - 2}{5}$

Этап 2.3.1.5.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$y - 4 = \frac{4 x}{5} + \frac{- 8}{5}$

Этап 2.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - 4 = \frac{4 x}{5} - \frac{8}{5}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{8}{5} + 4$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{8}{5} + 4 \cdot \frac{5}{5}$

Этап 2.3.2.3

Объединим $4$ и $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{8}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 8 + 4 \cdot 5}{5}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $4$ на $5$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 8 + 20}{5}$

Этап 2.3.2.5.2

Добавим $- 8$ и $20$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{12}{5}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{4}{5} x + \frac{12}{5}$

Этап 3