Математический анализ Примеры

$(x^{2} + 4) y = 8$ , $(2, 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 2$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} ((x^{2} + 4) y) = \frac{d}{d x} (8)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} + 4$ и $g (x) = y$ .

$(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Этап 1.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$(x^{2} + 4) y' + y \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Этап 1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 1.2.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x + 0)$

Этап 1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x)$

Этап 1.2.6.2

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$(x^{2} + 4) y' + 2 \cdot y x$

Этап 1.2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} y' + 4 y' + 2 y x$

Этап 1.2.7.2

Изменим порядок членов.

$x^{2} y' + 2 x y + 4 y'$

Этап 1.3

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x^{2} y' + 2 x y + 4 y' = 0$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вычтем $2 x y$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} y' + 4 y' = - 2 x y$

Этап 1.5.2

Вынесем множитель $y'$ из $x^{2} y' + 4 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} + 4 y' = - 2 x y$

Этап 1.5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $4 y'$ .

$y' x^{2} + y' \cdot 4 = - 2 x y$

Этап 1.5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' x^{2} + y' \cdot 4$ .

$y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$

Этап 1.5.3

Разделим каждый член $y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$ на $x^{2} + 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Разделим каждый член $y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$ на $x^{2} + 4$ .

$\frac{y' (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

Этап 1.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

Этап 1.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 x y}{x^{2} + 4}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{x^{2} + 4}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 2$ в $y = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{y}{{(2)}^{2} + 4}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $1$ .

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{{(2)}^{2} + 4}$

Этап 1.7.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{4 + 4}$

Этап 1.7.3.2

Добавим $4$ и $4$ .

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{8}$

Этап 1.7.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- 4 \cdot \frac{1}{8}$

Этап 1.7.4.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$4 (- 1) \cdot \frac{1}{8}$

Этап 1.7.4.2.2

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

Этап 1.7.4.2.3

Сократим общий множитель.

$4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

Этап 1.7.4.2.4

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot \frac{1}{2}$

Этап 1.7.4.3

Перепишем $- 1 (\frac{1}{2})$ в виде $- (\frac{1}{2})$ .

$- \frac{1}{2}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{1}{2}$ и координаты заданной точки $(2, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (2))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.5.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1))$

Этап 2.3.1.5.3

Сократим общий множитель.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.5.4

Перепишем это выражение.

$y - 1 = - \frac{x}{2} - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + 1$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{x}{2} + 1 + 1$

Этап 2.3.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$y = - \frac{x}{2} + 2$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{1}{2} x) + 2$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{1}{2} x + 2$

Этап 3