Математический анализ Примеры

$\tan (x y) = x - 1$ , $(1, 0)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 0$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\tan (x y)) = \frac{d}{d x} (x - 1)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 1.2.1.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$\sec^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$\sec^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Этап 1.2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y)$

Этап 1.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec^{2} (x y) (x y') + \sec^{2} (x y) y$

Этап 1.2.6.2

Изменим порядок членов.

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y)$

Этап 1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.3.4

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y) = 1$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Изменим порядок множителей в $x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y)$ .

$x y' \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) = 1$

Этап 1.5.2

Вычтем $y \sec^{2} (x y)$ из обеих частей уравнения.

$x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$

Этап 1.5.3

Разделим каждый член $x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$ на $x \sec^{2} (x y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Разделим каждый член $x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$ на $x \sec^{2} (x y)$ .

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Этап 1.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $\sec^{2} (x y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Этап 1.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $\sec^{2} (x y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Этап 1.5.3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y}{x}$

Этап 1.5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} - \frac{y}{x}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} - \frac{y}{x}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 1$ в $y = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$\frac{1}{(1) \sec^{2} ((1) \cdot y)} - \frac{y}{1}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $0$ .

$\frac{1}{(1) \sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Этап 1.7.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 \sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Этап 1.7.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Этап 1.7.3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Этап 1.7.3.3

Перепишем $\frac{1^{2}}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))}$ в виде ${(\frac{1}{\sec ((1) \cdot (0))})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sec ((1) \cdot (0))})}^{2} - \frac{0}{1}$

Этап 1.7.3.4

Выразим $\sec ((1) \cdot (0))$ через синусы и косинусы.

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos ((1) \cdot (0))}})}^{2} - \frac{0}{1}$

Этап 1.7.3.5

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos ((1) \cdot (0))}$ .

${(1 \cos ((1) \cdot (0)))}^{2} - \frac{0}{1}$

Этап 1.7.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.6.1

Умножим $0$ на $1$ .

${(1 \cos (0))}^{2} - \frac{0}{1}$

Этап 1.7.3.6.2

Умножим $\cos (0)$ на $1$ .

$\cos^{2} (0) - \frac{0}{1}$

Этап 1.7.3.7

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$1^{2} - \frac{0}{1}$

Этап 1.7.3.8

Единица в любой степени равна единице.

$1 - \frac{0}{1}$

Этап 1.7.3.9

Разделим $0$ на $1$ .

$1 - 0$

Этап 1.7.3.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.7.4

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $1$ и координаты заданной точки $(1, 0)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 1 \cdot (x - (1))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 0 = 1 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $y$ и $0$ .

$y = 1 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.2

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$y = x - 1$

Этап 3