Математический анализ Примеры

Найти площадь между кривыми y=x^(12/11) , y=10x^(1/11)
,
Этап 1
Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Исключим равные части каждого уравнения и объединим.
Этап 1.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.1
Исключим дробные показатели степени, умножив и тот, и другой на НОЗ.
Этап 1.2.2
Перемножим экспоненты в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.2.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 1.2.2.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.2.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.2.2.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 1.2.3
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.3.1
Применим правило умножения к .
Этап 1.2.3.2
Возведем в степень .
Этап 1.2.3.3
Перемножим экспоненты в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.3.3.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 1.2.3.3.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.3.3.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.2.3.3.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 1.2.3.4
Упростим.
Этап 1.2.4
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 1.2.5
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.5.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.2.5.2
Вынесем множитель из .
Этап 1.2.5.3
Вынесем множитель из .
Этап 1.2.6
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 1.2.7
Приравняем к .
Этап 1.2.8
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.8.1
Приравняем к .
Этап 1.2.8.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.8.2.1
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 1.2.8.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Этап 1.2.8.2.3
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.8.2.3.1
Перепишем в виде .
Этап 1.2.8.2.3.2
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.
Этап 1.2.9
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
Этап 1.3
Вычислим , когда .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1
Подставим вместо .
Этап 1.3.2
Подставим вместо в и решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.2.1
Избавимся от скобок.
Этап 1.3.2.2
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.2.2.1
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.2.2.1.1
Перепишем в виде .
Этап 1.3.2.2.1.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 1.3.2.2.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.2.2.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.3.2.2.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 1.3.2.2.3
Найдем экспоненту.
Этап 1.3.2.2.4
Умножим на .
Этап 1.4
Вычислим , когда .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1
Подставим вместо .
Этап 1.4.2
Подставим вместо в и решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.2.1
Избавимся от скобок.
Этап 1.4.2.2
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.2.2.1
Умножим на .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.2.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 1.4.2.2.1.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.4.2.2.2
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 1.4.2.2.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.4.2.2.4
Добавим и .
Этап 1.5
Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.
Этап 2
Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.
Этап 3
Проинтегрируем, чтобы найти площадь между и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Объединим интегралы в один интеграл.
Этап 3.2
Умножим на .
Этап 3.3
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 3.4
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 3.5
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 3.6
Объединим и .
Этап 3.7
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 3.8
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 3.9
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.9.1
Объединим и .
Этап 3.9.2
Подставим и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.9.2.1
Найдем значение в и в .
Этап 3.9.2.2
Найдем значение в и в .
Этап 3.9.2.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.9.2.3.1
Перепишем в виде .
Этап 3.9.2.3.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 3.9.2.3.3
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.9.2.3.3.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.9.2.3.3.2
Перепишем это выражение.
Этап 3.9.2.3.4
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 3.9.2.3.5
Умножим на .
Этап 3.9.2.3.6
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.9.2.3.6.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.9.2.3.6.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.9.2.3.6.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.9.2.3.6.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 3.9.2.3.6.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 3.9.2.3.6.2.4
Разделим на .
Этап 3.9.2.3.7
Умножим на .
Этап 3.9.2.3.8
Добавим и .
Этап 3.9.2.3.9
Объединим и .
Этап 3.9.2.3.10
Умножим на .
Этап 3.9.2.3.11
Вынесем множитель из .
Этап 3.9.2.3.12
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.9.2.3.12.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.9.2.3.12.2
Сократим общий множитель.
Этап 3.9.2.3.12.3
Перепишем это выражение.
Этап 3.9.2.3.13
Перепишем в виде .
Этап 3.9.2.3.14
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 3.9.2.3.15
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.9.2.3.15.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.9.2.3.15.2
Перепишем это выражение.
Этап 3.9.2.3.16
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 3.9.2.3.17
Умножим на .
Этап 3.9.2.3.18
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.9.2.3.18.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.9.2.3.18.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.9.2.3.18.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.9.2.3.18.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 3.9.2.3.18.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 3.9.2.3.18.2.4
Разделим на .
Этап 3.9.2.3.19
Умножим на .
Этап 3.9.2.3.20
Добавим и .
Этап 3.9.2.3.21
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 3.9.2.3.22
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 3.9.2.3.23
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.9.2.3.23.1
Умножим на .
Этап 3.9.2.3.23.2
Умножим на .
Этап 3.9.2.3.23.3
Умножим на .
Этап 3.9.2.3.23.4
Умножим на .
Этап 3.9.2.3.24
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 3.9.2.3.25
Умножим на .
Этап 3.9.2.3.26
Умножим на .
Этап 4