Математический анализ Примеры

$y = x^{2}$ , $y = 2 x$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{2} = 2 x$

Этап 1.2

Решим $x^{2} = 2 x$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 x = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x - 2 x = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 2 = 0$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$x (x - 2) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0 + y = 2 x$

Этап 1.2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 1.2.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 2) = 0$ верно.

$x = 0, 2$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 2 (0)$

Этап 1.3.2

Умножим $2$ на $0$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$y = 2 (2)$

Этап 1.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = 4$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(2, 4)$

$(0, 0)$

$(2, 4)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{2} 2 x d x - \int_{0}^{2} x^{2} d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{2} 2 x - (x^{2}) d x$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $x^{2}$ .

$\int_{0}^{2} 2 x - x^{2} d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - x^{2} d x$

Этап 3.4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - x^{2} d x$

Этап 3.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{2} d x$

Этап 3.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{2} d x$

Этап 3.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - \int_{0}^{2} x^{2} d x$

Этап 3.8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2})$

Этап 3.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2})$

Этап 3.9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $0$ .

$2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2})$

Этап 3.9.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $0$ .

$2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 (2 - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 (2 - \frac{0}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.4

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$2 (2 - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (2 - \frac{0}{1}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$2 (2 - 0) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 (2 + 0) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.6

Добавим $2$ и $0$ .

$2 \cdot 2 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.7

Умножим $2$ на $2$ .

$4 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.8

Возведем $2$ в степень $3$ .

$4 - (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 - (\frac{8}{3} - \frac{0}{3})$

Этап 3.9.2.3.10

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.10.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$4 - (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Этап 3.9.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$4 - (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 3.9.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$4 - (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 3.9.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$4 - (\frac{8}{3} - \frac{0}{1})$

Этап 3.9.2.3.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$4 - (\frac{8}{3} - 0)$

Этап 3.9.2.3.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$4 - (\frac{8}{3} + 0)$

Этап 3.9.2.3.12

Добавим $\frac{8}{3}$ и $0$ .

$4 - \frac{8}{3}$

Этап 3.9.2.3.13

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 3.9.2.3.14

Объединим $4$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 3.9.2.3.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 \cdot 3 - 8}{3}$

Этап 3.9.2.3.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.16.1

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12 - 8}{3}$

Этап 3.9.2.3.16.2

Вычтем $8$ из $12$ .

$\frac{4}{3}$

Этап 4