Математический анализ Примеры

Найти площадь между кривыми y=x^2 , y=2x-x^2
,
Этап 1
Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Исключим равные части каждого уравнения и объединим.
Этап 1.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.1
Поскольку находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.
Этап 1.2.2
Перенесем все члены с в левую часть уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.2.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 1.2.2.2
Вычтем из .
Этап 1.2.3
Разложим левую часть уравнения на множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.3.1
Пусть . Подставим вместо для всех.
Этап 1.2.3.2
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.3.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.2.3.2.2
Вынесем множитель из .
Этап 1.2.3.2.3
Вынесем множитель из .
Этап 1.2.3.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.2.4
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 1.2.5
Приравняем к .
Этап 1.2.6
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.6.1
Приравняем к .
Этап 1.2.6.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.6.2.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 1.2.6.2.2
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.6.2.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 1.2.6.2.2.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.6.2.2.2.1
Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.
Этап 1.2.6.2.2.2.2
Разделим на .
Этап 1.2.6.2.2.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.6.2.2.3.1
Разделим на .
Этап 1.2.7
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
Этап 1.3
Вычислим , когда .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1
Подставим вместо .
Этап 1.3.2
Подставим вместо в и решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.2.1
Избавимся от скобок.
Этап 1.3.2.2
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.2.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.2.2.1.1
Умножим на .
Этап 1.3.2.2.1.2
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 1.3.2.2.1.3
Умножим на .
Этап 1.3.2.2.2
Добавим и .
Этап 1.4
Вычислим , когда .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1
Подставим вместо .
Этап 1.4.2
Подставим вместо в и решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.2.1
Избавимся от скобок.
Этап 1.4.2.2
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.2.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.2.2.1.1
Умножим на .
Этап 1.4.2.2.1.2
Единица в любой степени равна единице.
Этап 1.4.2.2.1.3
Умножим на .
Этап 1.4.2.2.2
Вычтем из .
Этап 1.5
Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.
Этап 2
Изменим порядок и .
Этап 3
Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.
Этап 4
Проинтегрируем, чтобы найти площадь между и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Объединим интегралы в один интеграл.
Этап 4.2
Вычтем из .
Этап 4.3
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 4.4
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 4.5
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 4.6
Объединим и .
Этап 4.7
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 4.8
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 4.9
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.9.1
Объединим и .
Этап 4.9.2
Подставим и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.9.2.1
Найдем значение в и в .
Этап 4.9.2.2
Найдем значение в и в .
Этап 4.9.2.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.9.2.3.1
Единица в любой степени равна единице.
Этап 4.9.2.3.2
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 4.9.2.3.3
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.9.2.3.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.9.2.3.3.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.9.2.3.3.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.9.2.3.3.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 4.9.2.3.3.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 4.9.2.3.3.2.4
Разделим на .
Этап 4.9.2.3.4
Умножим на .
Этап 4.9.2.3.5
Добавим и .
Этап 4.9.2.3.6
Объединим и .
Этап 4.9.2.3.7
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 4.9.2.3.8
Единица в любой степени равна единице.
Этап 4.9.2.3.9
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 4.9.2.3.10
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.9.2.3.10.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.9.2.3.10.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.9.2.3.10.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.9.2.3.10.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 4.9.2.3.10.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 4.9.2.3.10.2.4
Разделим на .
Этап 4.9.2.3.11
Умножим на .
Этап 4.9.2.3.12
Добавим и .
Этап 4.9.2.3.13
Объединим и .
Этап 4.9.2.3.14
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.9.2.3.14.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.9.2.3.14.2
Перепишем это выражение.
Этап 4.9.2.3.15
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 4.9.2.3.16
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.9.2.3.17
Добавим и .
Этап 5