Математический анализ Примеры

$y = x^{2} + 6 x - 4$ , $y = x + 2$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{2} + 6 x - 4 = x + 2$

Этап 1.2

Решим $x^{2} + 6 x - 4 = x + 2$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 6 x - 4 - x = 2$

Этап 1.2.1.2

Вычтем $x$ из $6 x$ .

$x^{2} + 5 x - 4 = 2$

Этап 1.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 5 x - 4 - 2 = 0$

Этап 1.2.3

Вычтем $2$ из $- 4$ .

$x^{2} + 5 x - 6 = 0$

Этап 1.2.4

Разложим $x^{2} + 5 x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $5$ .

$- 1, 6 + y = x + 2$

Этап 1.2.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 1) (x + 6) = 0$

Этап 1.2.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 6 = 0 + y = x + 2$

Этап 1.2.6

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 1.2.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 1.2.7

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 1.2.7.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 1.2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (x + 6) = 0$ верно.

$x = 1, - 6$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = (1) + 2$

Этап 1.3.2

Подставим $1$ вместо $x$ в $y = (1) + 2$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 1 + 2$

Этап 1.3.2.2

Избавимся от скобок.

$y = (1) + 2$

Этап 1.3.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$y = 3$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $- 6$ вместо $x$ .

$y = (- 6) + 2$

Этап 1.4.2

Подставим $- 6$ вместо $x$ в $y = (- 6) + 2$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Избавимся от скобок.

$y = - 6 + 2$

Этап 1.4.2.2

Избавимся от скобок.

$y = (- 6) + 2$

Этап 1.4.2.3

Добавим $- 6$ и $2$ .

$y = - 4$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(1, 3)$

$(- 6, - 4)$

$(1, 3)$

$(- 6, - 4)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 6}^{1} x + 2 d x - \int_{- 6}^{1} x^{2} + 6 x - 4 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 6$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 6}^{1} x + 2 - (x^{2} + 6 x - 4) d x$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 2 - x^{2} - (6 x) - - 4$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $6$ на $- 1$ .

$x + 2 - x^{2} - 6 x - - 4$

Этап 3.2.2.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$x + 2 - x^{2} - 6 x + 4$

$\int_{- 6}^{1} x + 2 - x^{2} - 6 x + 4 d x$

Этап 3.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $6 x$ из $x$ .

$- 5 x + 2 - x^{2} + 4$

Этап 3.3.2

Добавим $2$ и $4$ .

$- 5 x - x^{2} + 6$

$\int_{- 6}^{1} - 5 x - x^{2} + 6 d x$

Этап 3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 6}^{1} - 5 x d x + \int_{- 6}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

Этап 3.5

Поскольку $- 5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 5$ из-под знака интеграла.

$- 5 \int_{- 6}^{1} x d x + \int_{- 6}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

Этап 3.6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 6}^{1}) + \int_{- 6}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

Этап 3.7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 6}^{1}) + \int_{- 6}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

Этап 3.8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 6}^{1}) - \int_{- 6}^{1} x^{2} d x + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

Этап 3.9

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 6}^{1}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 6}^{1}) + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

Этап 3.10

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 6}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 6}^{1}) + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

Этап 3.11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 6}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 6}^{1}) + 6 x]_{- 6}^{1}$

Этап 3.12

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $- 6$ .

$- 5 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 6)}^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 6}^{1}) + 6 x]_{- 6}^{1}$

Этап 3.12.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $- 6$ .

$- 5 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 6)}^{2}}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + 6 x]_{- 6}^{1}$

Этап 3.12.3

Найдем значение $6 x$ в $1$ и в $- 6$ .

$- 5 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 6)}^{2}}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 6)}^{2}}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.2

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{36}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.3

Сократим общий множитель $36$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $36$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 18}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 18}{2 (1)}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{18}{1}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.3.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 18) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.4

Умножим $- 1$ на $18$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - 18) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.5

Чтобы записать $- 18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - 18 \cdot \frac{2}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.6

Объединим $- 18$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 5 (\frac{1}{2} + \frac{- 18 \cdot 2}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 5 \frac{1 - 18 \cdot 2}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.8.1

Умножим $- 18$ на $2$ .

$- 5 \frac{1 - 36}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.8.2

Вычтем $36$ из $1$ .

$- 5 (\frac{- 35}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 5 (- \frac{35}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.10

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$5 (\frac{35}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.11

Объединим $5$ и $\frac{35}{2}$ .

$\frac{5 \cdot 35}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.12

Умножим $5$ на $35$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.13

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.14

Возведем $- 6$ в степень $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{- 216}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.15

Сократим общий множитель $- 216$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.15.1

Вынесем множитель $3$ из $- 216$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot - 72}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.15.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot - 72}{3 (1)}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.15.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot - 72}{3 \cdot 1}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.15.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{- 72}{1}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.15.2.4

Разделим $- 72$ на $1$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - - 72) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.16

Умножим $- 1$ на $- 72$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} + 72) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.17

Чтобы записать $72$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} + 72 \cdot \frac{3}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.18

Объединим $72$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} + \frac{72 \cdot 3}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{175}{2} - \frac{1 + 72 \cdot 3}{3} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.20.1

Умножим $72$ на $3$ .

$\frac{175}{2} - \frac{1 + 216}{3} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.20.2

Добавим $1$ и $216$ .

$\frac{175}{2} - \frac{217}{3} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.21

Чтобы записать $\frac{175}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{217}{3} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.22

Чтобы записать $- \frac{217}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{217}{3} \cdot \frac{2}{2} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.23

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.23.1

Умножим $\frac{175}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{217}{3} \cdot \frac{2}{2} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.23.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{217}{3} \cdot \frac{2}{2} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.23.3

Умножим $\frac{217}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{217 \cdot 2}{3 \cdot 2} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.23.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{217 \cdot 2}{6} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{175 \cdot 3 - 217 \cdot 2}{6} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.25

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.25.1

Умножим $175$ на $3$ .

$\frac{525 - 217 \cdot 2}{6} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.25.2

Умножим $- 217$ на $2$ .

$\frac{525 - 434}{6} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.25.3

Вычтем $434$ из $525$ .

$\frac{91}{6} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.26

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{91}{6} + 6 - 6 \cdot - 6$

Этап 3.12.4.27

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$\frac{91}{6} + 6 + 36$

Этап 3.12.4.28

Добавим $6$ и $36$ .

$\frac{91}{6} + 42$

Этап 3.12.4.29

Чтобы записать $42$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{91}{6} + 42 \cdot \frac{6}{6}$

Этап 3.12.4.30

Объединим $42$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{91}{6} + \frac{42 \cdot 6}{6}$

Этап 3.12.4.31

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{91 + 42 \cdot 6}{6}$

Этап 3.12.4.32

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.32.1

Умножим $42$ на $6$ .

$\frac{91 + 252}{6}$

Этап 3.12.4.32.2

Добавим $91$ и $252$ .

$\frac{343}{6}$

Этап 4