Математический анализ Примеры

$y = \sin (x)$ , $y = \cos (x)$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\sin (x) = \cos (x)$

Этап 1.2

Решим $\sin (x) = \cos (x)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 1.2.2

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\tan (x) = \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\tan (x) = \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\tan (x) = 1$

Этап 1.2.4

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (1)$

Этап 1.2.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 1.2.6

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 1.2.7

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 1.2.7.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 1.2.7.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 1.2.7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 1.2.7.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 1.2.8

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 1.2.8.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 1.2.8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 1.2.8.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 1.2.9

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = \frac{π}{4} + π n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $\frac{π}{4} + π n$ вместо $x$ .

$y = \cos (\frac{π}{4} + π n)$

Этап 1.3.2

Избавимся от скобок.

$y = \cos (\frac{π}{4} + π n)$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = \frac{5 π}{4} + π n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $\frac{5 π}{4} + π n$ вместо $x$ .

$y = \cos (\frac{5 π}{4} + π n)$

Этап 1.4.2

Избавимся от скобок.

$y = \cos (\frac{5 π}{4} + π n)$

Этап 1.5

Перечислим все решения.

$y = \cos (\frac{π}{4} + π n), x = \frac{π}{4} + π n$

$y = \cos (\frac{5 π}{4} + π n), x = \frac{5 π}{4} + π n$

$y = \cos (\frac{π}{4} + π n), x = \frac{π}{4} + π n$

$y = \cos (\frac{5 π}{4} + π n), x = \frac{5 π}{4} + π n$

Этап 2

Область между данными кривыми не ограничена.

Неограниченная область

Этап 3