Математический анализ Примеры

$y = 8 x + 9$ , $y = x^{2}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$8 x + 9 = x^{2}$

Этап 1.2

Решим $8 x + 9 = x^{2}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$8 x + 9 - x^{2} = 0$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $8 x + 9 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1.1

Перенесем $9$ .

$8 x - x^{2} + 9 = 0$

Этап 1.2.2.1.1.2

Изменим порядок $8 x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 8 x + 9 = 0$

Этап 1.2.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 8 x + 9 = 0$

Этап 1.2.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $8 x$ .

$- (x^{2}) - (- 8 x) + 9 = 0$

Этап 1.2.2.1.4

Перепишем $9$ в виде $- 1 (- 9)$ .

$- (x^{2}) - (- 8 x) - 1 \cdot - 9 = 0$

Этап 1.2.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 8 x)$ .

$- (x^{2} - 8 x) - 1 \cdot - 9 = 0$

Этап 1.2.2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 8 x) - 1 (- 9)$ .

$- (x^{2} - 8 x - 9) = 0$

Этап 1.2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Разложим $x^{2} - 8 x - 9$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 9$ , а сумма — $- 8$ .

$- 9, 1 + y = x^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 9) (x + 1)) = 0$

Этап 1.2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 9) (x + 1) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 9 = 0$

$x + 1 = 0 + y = x^{2}$

Этап 1.2.4

Приравняем $x - 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x - 9$ к $0$ .

$x - 9 = 0$

Этап 1.2.4.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x = 9$

Этап 1.2.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 1.2.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 9) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 9, - 1$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $9$ вместо $x$ .

$y = {(9)}^{2}$

Этап 1.3.2

Подставим $9$ вместо $x$ в $y = {(9)}^{2}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 9^{2}$

Этап 1.3.2.2

Возведем $9$ в степень $2$ .

$y = 81$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$y = {(- 1)}^{2}$

Этап 1.4.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = 1$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(9, 81)$

$(- 1, 1)$

$(9, 81)$

$(- 1, 1)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 1}^{9} 8 x + 9 d x - \int_{- 1}^{9} x^{2} d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 1$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 1}^{9} 8 x + 9 - (x^{2}) d x$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $x^{2}$ .

$\int_{- 1}^{9} 8 x + 9 - x^{2} d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{9} 8 x d x + \int_{- 1}^{9} 9 d x + \int_{- 1}^{9} - x^{2} d x$

Этап 3.4

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int_{- 1}^{9} x d x + \int_{- 1}^{9} 9 d x + \int_{- 1}^{9} - x^{2} d x$

Этап 3.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{9}) + \int_{- 1}^{9} 9 d x + \int_{- 1}^{9} - x^{2} d x$

Этап 3.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$8 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{9}) + \int_{- 1}^{9} 9 d x + \int_{- 1}^{9} - x^{2} d x$

Этап 3.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$8 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{9}) + 9 x]_{- 1}^{9} + \int_{- 1}^{9} - x^{2} d x$

Этап 3.8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{9}) + 9 x]_{- 1}^{9} - \int_{- 1}^{9} x^{2} d x$

Этап 3.9

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$8 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{9}) + 9 x]_{- 1}^{9} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{9})$

Этап 3.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$8 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{9}) + 9 x]_{- 1}^{9} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{9})$

Этап 3.10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $9$ и в $- 1$ .

$8 ((\frac{9^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 9 x]_{- 1}^{9} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{9})$

Этап 3.10.2.2

Найдем значение $9 x$ в $9$ и в $- 1$ .

$8 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 9 - 9 \cdot - 1 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{9})$

Этап 3.10.2.3

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $9$ и в $- 1$ .

$8 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 9 - 9 \cdot - 1 - ((\frac{9^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$8 (\frac{81}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 9 - 9 \cdot - 1 - ((\frac{9^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$8 (\frac{81}{2} - \frac{1}{2}) + 9 \cdot 9 - 9 \cdot - 1 - ((\frac{9^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 \frac{81 - 1}{2} + 9 \cdot 9 - 9 \cdot - 1 - ((\frac{9^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.4

Вычтем $1$ из $81$ .

$8 (\frac{80}{2}) + 9 \cdot 9 - 9 \cdot - 1 - ((\frac{9^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.5

Сократим общий множитель $80$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $80$ .

$8 \frac{2 \cdot 40}{2} + 9 \cdot 9 - 9 \cdot - 1 - ((\frac{9^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$8 \frac{2 \cdot 40}{2 (1)} + 9 \cdot 9 - 9 \cdot - 1 - ((\frac{9^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$8 \frac{2 \cdot 40}{2 \cdot 1} + 9 \cdot 9 - 9 \cdot - 1 - ((\frac{9^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$8 (\frac{40}{1}) + 9 \cdot 9 - 9 \cdot - 1 - ((\frac{9^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.5.2.4

Разделим $40$ на $1$ .

$8 \cdot 40 + 9 \cdot 9 - 9 \cdot - 1 - ((\frac{9^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.6

Умножим $8$ на $40$ .

$320 + 9 \cdot 9 - 9 \cdot - 1 - ((\frac{9^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.7

Умножим $9$ на $9$ .

$320 + 81 - 9 \cdot - 1 - ((\frac{9^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.8

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$320 + 81 + 9 - ((\frac{9^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.9

Добавим $81$ и $9$ .

$320 + 90 - ((\frac{9^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.10

Добавим $320$ и $90$ .

$410 - ((\frac{9^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.11

Возведем $9$ в степень $3$ .

$410 - (\frac{729}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.12

Сократим общий множитель $729$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.12.1

Вынесем множитель $3$ из $729$ .

$410 - (\frac{3 \cdot 243}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.12.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$410 - (\frac{3 \cdot 243}{3 (1)} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.12.2.2

Сократим общий множитель.

$410 - (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.12.2.3

Перепишем это выражение.

$410 - (\frac{243}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.12.2.4

Разделим $243$ на $1$ .

$410 - (243 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.13

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$410 - (243 - \frac{- 1}{3})$

Этап 3.10.2.4.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$410 - (243 - - \frac{1}{3})$

Этап 3.10.2.4.15

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$410 - (243 + 1 (\frac{1}{3}))$

Этап 3.10.2.4.16

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$410 - (243 + \frac{1}{3})$

Этап 3.10.2.4.17

Чтобы записать $243$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$410 - (243 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3})$

Этап 3.10.2.4.18

Объединим $243$ и $\frac{3}{3}$ .

$410 - (\frac{243 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3})$

Этап 3.10.2.4.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$410 - \frac{243 \cdot 3 + 1}{3}$

Этап 3.10.2.4.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.20.1

Умножим $243$ на $3$ .

$410 - \frac{729 + 1}{3}$

Этап 3.10.2.4.20.2

Добавим $729$ и $1$ .

$410 - \frac{730}{3}$

Этап 3.10.2.4.21

Чтобы записать $410$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$410 \cdot \frac{3}{3} - \frac{730}{3}$

Этап 3.10.2.4.22

Объединим $410$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{410 \cdot 3}{3} - \frac{730}{3}$

Этап 3.10.2.4.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{410 \cdot 3 - 730}{3}$

Этап 3.10.2.4.24

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.24.1

Умножим $410$ на $3$ .

$\frac{1230 - 730}{3}$

Этап 3.10.2.4.24.2

Вычтем $730$ из $1230$ .

$\frac{500}{3}$

Этап 4