Математический анализ Примеры

$y = 16 - x^{2}$ , $y = 0$ , $x = - 2$ , $x = 3$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$16 - x^{2} = 0$

Этап 1.2

Решим $16 - x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 16$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 16$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 16$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Этап 1.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Разделим $- 16$ на $- 1$ .

$x^{2} = 16$

Этап 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Этап 1.2.4

Упростим $\pm \sqrt{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Этап 1.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 4$

Этап 1.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 4$

Этап 1.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 4$

Этап 1.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4, - 4$

Этап 1.3

Подставим $4$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(4, 0)$

$(- 4, 0)$

$(4, 0)$

$(- 4, 0)$

Этап 2

Изменим порядок $16$ и $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 16$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 2}^{3} - x^{2} + 16 d x - \int_{- 2}^{3} 0 d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 2$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 2}^{3} - x^{2} + 16 - (0) d x$

Этап 4.2

Вычтем $0$ из $- x^{2} + 16$ .

$\int_{- 2}^{3} - x^{2} + 16 d x$

Этап 4.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 2}^{3} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{3} 16 d x$

Этап 4.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{- 2}^{3} x^{2} d x + \int_{- 2}^{3} 16 d x$

Этап 4.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{3}) + \int_{- 2}^{3} 16 d x$

Этап 4.6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{3}) + \int_{- 2}^{3} 16 d x$

Этап 4.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{3}) + 16 x]_{- 2}^{3}$

Этап 4.8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $- 2$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 16 x]_{- 2}^{3}$

Этап 4.8.2

Найдем значение $16 x$ в $3$ и в $- 2$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

Этап 4.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- (\frac{27}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

Этап 4.8.3.2

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

Этап 4.8.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

Этап 4.8.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

Этап 4.8.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{9}{1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

Этап 4.8.3.2.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$- (9 - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

Этап 4.8.3.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- (9 - \frac{- 8}{3}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

Этап 4.8.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- (9 - - \frac{8}{3}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

Этап 4.8.3.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- (9 + 1 (\frac{8}{3})) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

Этап 4.8.3.6

Умножим $\frac{8}{3}$ на $1$ .

$- (9 + \frac{8}{3}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

Этап 4.8.3.7

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

Этап 4.8.3.8

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

Этап 4.8.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{9 \cdot 3 + 8}{3} + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

Этап 4.8.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.10.1

Умножим $9$ на $3$ .

$- \frac{27 + 8}{3} + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

Этап 4.8.3.10.2

Добавим $27$ и $8$ .

$- \frac{35}{3} + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

Этап 4.8.3.11

Умножим $16$ на $3$ .

$- \frac{35}{3} + 48 - 16 \cdot - 2$

Этап 4.8.3.12

Умножим $- 16$ на $- 2$ .

$- \frac{35}{3} + 48 + 32$

Этап 4.8.3.13

Добавим $48$ и $32$ .

$- \frac{35}{3} + 80$

Этап 4.8.3.14

Чтобы записать $80$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{35}{3} + 80 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.8.3.15

Объединим $80$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{80 \cdot 3}{3}$

Этап 4.8.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 35 + 80 \cdot 3}{3}$

Этап 4.8.3.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.17.1

Умножим $80$ на $3$ .

$\frac{- 35 + 240}{3}$

Этап 4.8.3.17.2

Добавим $- 35$ и $240$ .

$\frac{205}{3}$

Этап 5