Математический анализ Примеры

$y = 4 x - x^{2}$ , $y = - x$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$4 x - x^{2} = - x$

Этап 1.2

Решим $4 x - x^{2} = - x$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$4 x - x^{2} + x = 0$

Этап 1.2.1.2

Добавим $4 x$ и $x$ .

$- x^{2} + 5 x = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{2} + 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + 5 x = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $- x$ из $5 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 5 = 0$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $- x$ из $- x (x) - x (- 5)$ .

$- x (x - 5) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 5 = 0 + y = - x$

Этап 1.2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 1.2.5.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- x (x - 5) = 0$ верно.

$x = 0, 5$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = - (0)$

Этап 1.3.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $5$ вместо $x$ .

$y = - (5)$

Этап 1.4.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$y = - 5$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(5, - 5)$

$(0, 0)$

$(5, - 5)$

Этап 2

Изменим порядок $4 x$ и $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 4 x$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{5} - x^{2} + 4 x d x - \int_{0}^{5} - x d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{5} - x^{2} + 4 x - (- x) d x$

Этап 4.2

Умножим $- (- x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- x^{2} + 4 x + 1 x$

Этап 4.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$- x^{2} + 4 x + x$

$\int_{0}^{5} - x^{2} + 4 x + x d x$

Этап 4.3

Добавим $4 x$ и $x$ .

$\int_{0}^{5} - x^{2} + 5 x d x$

Этап 4.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{5} - x^{2} d x + \int_{0}^{5} 5 x d x$

Этап 4.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{0}^{5} x^{2} d x + \int_{0}^{5} 5 x d x$

Этап 4.6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 5 x d x$

Этап 4.7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 5 x d x$

Этап 4.8

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 5 \int_{0}^{5} x d x$

Этап 4.9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{5})$

Этап 4.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5})$

Этап 4.10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $5$ и в $0$ .

$- ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5})$

Этап 4.10.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $5$ и в $0$ .

$- (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.1

Возведем $5$ в степень $3$ .

$- (\frac{125}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- (\frac{125}{3} - \frac{0}{3}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$- (\frac{125}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{125}{3} - \frac{0}{1}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- (\frac{125}{3} - 0) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- (\frac{125}{3} + 0) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.5

Добавим $\frac{125}{3}$ и $0$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.6

Возведем $5$ в степень $2$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.3.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - \frac{0}{2})$

Этап 4.10.2.3.8

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.8.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 4.10.2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 4.10.2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 4.10.2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - \frac{0}{1})$

Этап 4.10.2.3.8.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - 0)$

Этап 4.10.2.3.9

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} + 0)$

Этап 4.10.2.3.10

Добавим $\frac{25}{2}$ и $0$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2})$

Этап 4.10.2.3.11

Объединим $5$ и $\frac{25}{2}$ .

$- \frac{125}{3} + \frac{5 \cdot 25}{2}$

Этап 4.10.2.3.12

Умножим $5$ на $25$ .

$- \frac{125}{3} + \frac{125}{2}$

Этап 4.10.2.3.13

Чтобы записать $- \frac{125}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{125}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{125}{2}$

Этап 4.10.2.3.14

Чтобы записать $\frac{125}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{125}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{125}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.10.2.3.15

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.15.1

Умножим $\frac{125}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{125 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{125}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.10.2.3.15.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{125 \cdot 2}{6} + \frac{125}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.10.2.3.15.3

Умножим $\frac{125}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{125 \cdot 2}{6} + \frac{125 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Этап 4.10.2.3.15.4

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{125 \cdot 2}{6} + \frac{125 \cdot 3}{6}$

Этап 4.10.2.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 125 \cdot 2 + 125 \cdot 3}{6}$

Этап 4.10.2.3.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.17.1

Умножим $- 125$ на $2$ .

$\frac{- 250 + 125 \cdot 3}{6}$

Этап 4.10.2.3.17.2

Умножим $125$ на $3$ .

$\frac{- 250 + 375}{6}$

Этап 4.10.2.3.17.3

Добавим $- 250$ и $375$ .

$\frac{125}{6}$

Этап 5