Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x^{2} + 3 x}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} + 3 x}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} + 3 x}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} + 3 x}$

Этап 1.1.2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 3 x}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 3 x}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 3 x}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.3.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 3 lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.3.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 3 \cdot 0}$

Этап 1.1.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0 + 3 \cdot 0}$

Этап 1.1.3.5.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 1.1.3.5.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.5.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x^{2} + 3 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]}$

Этап 1.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]}$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 x + \frac{d}{d x} [3 x]}$

Этап 1.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 x + 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 x + 3 \cdot 1}$

Этап 1.3.5.3

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 x + 3}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 2 x + 3}$

Этап 2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x + 3}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 3}$

Этап 2.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3}$

Этап 2.5

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x + 3}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\cos (0)}{2 lim_{x \to 0} x + 3}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\cos (0)}{2 \cdot 0 + 3}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 0 + 3}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{0 + 3}$

Этап 4.2.2

Добавим $0$ и $3$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{3}$

Десятичная форма:

$0.\overline{3}$