Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{{(2 x - 1)}^{2} - 1}{x - 1}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} {(2 x - 1)}^{2} - 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} {(2 x - 1)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении ${(2 x - 1)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 1} 2 x - 1)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.1.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.1.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{{(2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.1.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{{(2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{{(2 - 1 \cdot 1)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.3.1.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{{(2 - 1)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.3.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{{(2 x - 1)}^{2} - 1}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.2

Перепишем ${(2 x - 1)}^{2}$ в виде $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x - 1) (2 x - 1) - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3

Развернем $(2 x - 1) (2 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1) - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1) - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1.2.1

Перенесем $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.5

По правилу суммы производная $4 x^{2} - 4 x + 1 - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.6.3

Умножим $2$ на $4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{8 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{8 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{8 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.7.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{8 x - 4 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{8 x - 4 + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{8 x - 4 + 0 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.10

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1

Добавим $8 x - 4$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{8 x - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.10.2

Добавим $8 x - 4$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{8 x - 4}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.11

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{8 x - 4}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{8 x - 4}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.13

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{8 x - 4}{1 + 0}$

Этап 1.3.14

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{8 x - 4}{1}$

Этап 1.4

Разделим $8 x - 4$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} 8 x - 4$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$lim_{x \to 1} 8 x - lim_{x \to 1} 4$

Этап 2.2

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$8 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 4$

Этап 2.3

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$8 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 4$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$8 \cdot 1 - 1 \cdot 4$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $8$ на $1$ .

$8 - 1 \cdot 4$

Этап 4.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$8 - 4$

Этап 4.2

Вычтем $4$ из $8$ .

$4$