Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x^{2} - 1}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.1.2.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 1.1.3.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 1.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{2 x + 0}$

Этап 1.3.6

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{2 x}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 x}$

Этап 1.5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{2 x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x (2 x)}$

Этап 1.5.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{2 (x^{1} x)}$

Этап 1.5.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{2 (x^{1} x^{1})}$

Этап 1.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{2 x^{1 + 1}}$

Этап 1.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{2 x^{2}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Этап 2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Этап 2.4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1^{2}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим.

$\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1^{2}}$

Этап 4.2

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 1^{2}}$

Этап 4.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$