Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} x^{\frac{6}{x - 1}}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $x^{\frac{6}{x - 1}}$ в виде $e^{\ln (x^{\frac{6}{x - 1}})}$ .

$lim_{x \to 1} e^{\ln (x^{\frac{6}{x - 1}})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln (x^{\frac{6}{x - 1}})$ , вынося $\frac{6}{x - 1}$ из логарифма.

$lim_{x \to 1} e^{\frac{6}{x - 1} \ln (x)}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 1} \frac{6}{x - 1} \ln (x)}$

Этап 2.2

Объединим $\frac{6}{x - 1}$ и $\ln (x)$ .

$e^{lim_{x \to 1} \frac{6 \ln (x)}{x - 1}}$

Этап 2.3

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x - 1}}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{6 \frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x - 1}}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{6 \frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x - 1}}$

Этап 3.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$e^{6 \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x - 1}}$

Этап 3.1.2.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$e^{6 \frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$e^{6 \frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}}$

Этап 3.1.3.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$e^{6 \frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}$

Этап 3.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$e^{6 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}}$

Этап 3.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{6 \frac{0}{1 - 1}}$

Этап 3.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$e^{6 (\frac{0}{0})}$

Этап 3.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{6 (\frac{0}{0})}$

Этап 3.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{6 (\frac{0}{0})}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{6 (\frac{0}{0})}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}}$

Этап 3.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}}$

Этап 3.3.3

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}}$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}}$

Этап 3.3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1 + 0}}$

Этап 3.3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1}}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot 1}$

Этап 3.5

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$e^{6 lim_{x \to 1} \frac{1}{x}}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$e^{6 \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}}$

Этап 4.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$e^{6 \frac{1}{lim_{x \to 1} x}}$

Этап 5

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$e^{6 (\frac{1}{1})}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Сократим общий множитель.

$e^{6 (\frac{1}{1})}$

Этап 6.1.2

Перепишем это выражение.

$e^{6 \cdot 1}$

Этап 6.2

Умножим $6$ на $1$ .

$e^{6}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$e^{6}$

Десятичная форма:

$403.42879349 \dots$